4.2. Нормальные случайные процессыВ этом параграфе рассматриваются многомерный нормальный случайный процесс и его наиболее важные характеристики. В гл. 2 уже приводились основные сведения об одномерном и двумерном нормальных процессах. Теперь же желательно обсудить некоторые свойства общего многомерного нормального распределения. Рассмотрение начнем с центральной предельной теоремы. Эта теорема позволяет ожидать, что многие реальные процессы будут нормальными. Затем обсуждаются неравенство Чебышева и другие важные соотношения, в том числе и условные нормальные плотности вероятности. Понятие условной плотности вероятности вообще очень важно, а в теории оценивания оно является одним из основных. Многомерные нормальные случайные процессы. Наиболее важной для данного раздела является многомерная нормальная плотность вероятности, которая для вектора
где
Характеристическая функция соответствующая нормальной плотности вероятности, определяется соотношением
При подстановке Дополнив до полного квадрата выражение в квадратных скобках последнего выражения, можно записать Поскольку интеграл здесь оказывается равным единице, то для характеристической функции, соответствующей нормальной плотности, получаем окончательно
Центральная предельная теорема. В теории вероятностей и математической статистике сформулировано много предельных теорем. Под центральной предельной теоремой понимают целую совокупность теорем с одним и тем же утверждением, отличающимся друг от друга лишь исходными предположениями [57]; здесь будет приведена только одна формулировка. Пусть
В центральной предельной теореме утверждается, что распределение случайной величины
где
Подходящую форму доказательства этого результата можно найти в [57]. Центральная предельная теорема полезна при аппроксимации вероятностей событий, связанных с суммами случайных величин, не являющихся нормальными. Так, при конечном значении
где Такое приближение, однако, может оказаться плохим. Например, если компонента для любого Неравенство Чебышева. Это неравенство фактически можно рассматривать как простейшую предельную теорему. Согласно этому неравенству вероятность того, что модуль случайной величины, среднее значение которой равно нулю, окажется больше некоторого положительного числа
Справедливость неравенства (4.9) нетрудно проверить [57]. Для случайной величины, среднее значение которой отлично от нуля и равно
Одна из форм слабого закона больших чисел является простым следствием этого неравенства. Рассмотрим сумму из
Первые два момента величины
Отсюда следует справедливость утверждения слабого закона больших чисел. Введенную с помощью соотношения (4.11) случайную величину Линейные преобразования. Линейные преобразования нормальных случайных величин вновь приводят к нормальным случайным величинам. Например, пусть
где
то для плотности вектора
Если
Очевидно, должно быть справедливым равенство
которое можно переписать следующим образом (положив
Из ф-лы (4.18) также очевидна необходимость существования обратного преобразования. Дифференцируя обе части последнего равенства по
Если
т.е. является плотностью вероятности вектора Часто при анализе точности измерений случайных процессов или при решении задач нелинейной фильтрации необходимо знать четвертый момент нормальной случайной величины с нулевым средним значением. Для этого момента справедливо представлено
Это равенство несложно получить, если воспользоваться понятием характеристической функции. Если случайные величины имеют средние значения, отличные от нуля, то вместо (4.22) имеем Условно нормальные случайные векторы. Большая часть рассуждений в последующих главах книги будет основываться на понятии условных нормальных случайных величин. В данном разделе приведено несколько теорем относительно условных нормальных случайных векторов. Рассмотрим два совместно нормальных случайных вектора
Условные плотности вероятности в данном случае также является нормальными, что можно показать, воспользовавшись известной формулой для условной плотности:
Плотность вероятности рассматриваемого составного вектора в то время как плотности вероятности каждого вектора имеют вид Используя теперь ф-лы (4.25), можно установить следующие очень важные соотношения:
Эти соотношения позволяют записать условные плотности вероятности векторов Заметим, что условные математические ожидания
то условное математическое ожидание двух случайных векторов имеет линейную форму
Нормальная плотность вероятности удовлетворяет этому условию. Известно большое число интересных результатов, справедливых для условных нормальных плотностей вероятности. Например, можно показать, что вектор
статистически не зависит от векторов
Далее можно показать, что
Каждое из этих равенств представляет собой утверждение леммы об ортогональном проецировании, которая существенно будет использоваться в дальнейшем (см. § 6.6).
|