5.3. Выбор решения при многократных наблюденияхВ большей части задач теории решений однократное наблюдение не позволяет обеспечить нужное для практических целей достаточно малое значение минимума байесовского риска. Это приводит к необходимости многократного проведения наблюдений. Введем пространство наблюдений, которое удобно рассматривать как пространство векторов
где Как и в случае однократного наблюдения, равенство (5.23) можно записать так, чтобы в его правую часть входила только область
Поскольку потери и априорные вероятности предполагаются известными, то первые два слагаемых в правой части этого равенства не зависят от формы области
следует отнести к области
где
а
Если для полученного вектора наблюдений значение отношения правдоподобия больше значения порога, то принимается гипотеза Последние три формулы, справедливые для случая векторного наблюдения, являются очевидными аналогами ф-л (5.14) — (5.16), полученных ранее для скалярного случая. Для рассматриваемых двух гипотез можно указать скалярную достаточную статистику Выборочное среднее
Следовательно, некоторая статистика
Таким образом, условные плотности вероятности, стоящие в левых частях последних двух соотношений, не зависят от
т.е. если статистика
Можно допустить, что вектор
Из этих соотношений следует, что отношение правдоподобия (5.26) можно заменить отношением правдоподобия
для достаточной статистики, которое может быть использовано для построения правила выбора решения типа (5.25). Используя распределения достаточной статистики при рассматриваемых гипотезах, запишем байесовский риск в виде
Порог
или
что совпадает со значением порога (5.27) Для правила выбора решения, основывающегося на достаточной статистике, можно вычислить вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала.
Можно найти также правила выбора решений, удовлетворяющие критерию Неймана-Пирсона и минимаксному критерию. Для большей части задач невозможно указать явное выражение длч достаточной статистики, если не получено выражение для отношения правдоподобия
Воспользовавшись понятием условной плотности вероятности, запишем
В этих выражениях
Если статистика
Следовательно, в этом случае плотность вероятности вектора Пример 5.2. Вновь рассмотрим пример 5.1, приняв теперь, что имеется Будем предполагать, что случайные величины
где Условные плотности вероятности наблюдаемого вектора при разных гипотезах имеют вид
Отношение правдоподобия вычисляется как отношение этих плотностей. В результате имеем
Правило выбора решения, основывающееся на отношении правдоподобия, записывается теперь согласно (5.25) следующим образом или
Таким образом, достаточная статистика в рассматриваемом случае представляет собой просто сумму наблюдаемых величин Удобнее достаточную статистику нормировать и решение выносить на основе статистики
Найдем плотности вероятности нормированной статистики при обеих гипотезах. Непосредственно из определения статистики получаем Поэтому
Графики этих функций изображены на рис. 5.4. Если основные плотности вероятности достаточной статистики известны, то можно вычислить значения байесовского риска и вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала для правила Неймана-Пирсона или минимаксного правила Причем эти вычисления оказываются проще, чем подобные вычисления, основывающиеся на совместном распределении выборки Полезно также вычислить среднюю вероятность ошибки и рабочую характеристику приемника, реализующего анализируемое правило выбора решения. Рис 5.4 Условные плотности вероятности достаточной статистики Согласно определениям для вероятностей пропуска сигнала и ложной тревоги можно записать соответственно
Здесь при вычислении вероятности пропуска сигнала использована замена переменной интегрирования Если предположить, что
Выделив из отношения правдоподобия достаточную статистику и определив новое значение порога
Здесь разность между средними значениями статистики
В этом случае, если вероятности ложной тревоги
Так как расстояние Точки рабочей характеристики минимаксного приемника для частного случая, когда
Рабочая характеристика минимаксного приемника описывается уравнением
Ранее уже отмечалось, что достаточную статистику можно рассматривать как результат преобразования координат пространства наблюдений. Например, при Тогда
Таким образом, в этом «примере условная плотность вероятности новой переменной Рассмотрим теперь более общую задачу, связанную с "нормальными случайными величинами. Различные частные случаи этой задачи охватывают многие проблемы теории обнаружения сигналов Будем рассматривать модель наблюдений
где
и будем предполагать, что при гипотезе
а при гипотезе
Таким образом, условные плотности наблюдаемых величин имеют вид
Отношение правдоподобия и правило выбора решения, основывающееся на отношении правдоподобия, теперь можно записать следующим образом:
Вычислив логарифмы обеих частей неравенства, для байесовского правила выбора решения получим (при практическом использовании этого правила вместо
Левую часть этого неравенства можно рассматривать как достаточную статистику
Из (5.50) следует, что вычисление таких важных характеристик полученного правила, как вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала, по распределениям этой достаточной статистики при различных гипотезах сопряжено со значительными трудностями Это обусловлено тем, что рассматриваемая статистика является нелинейной функцией нормальных случайных величин, вследствие чего ее распределения отличны от нормальных В более простом, но все еще полезном для приложений случае, когда ковариационные матрицы вектора
Правило (5.50) намного сложнее, чем правило (5.52), поскольку согласно второму с порогом следует сравнивать взвешенную сумму результатов наблюдений, в то время как при использовании первого правила необходимо вычислять значения и разность двух квадратичных форм от результатов наблюдений. Удобно ввести вектор разности средних значений
и нормированную скалярную достаточную статистику
Нетрудно показать, что
При рассмотрении примера 5.2 было показано, что параметр
а параметр
Приведенные соотношения дополнительно упрощаются, если компоненты вектора шума измерений статистически независимы, т. е. Если
Статистика
Эти результаты справедливы в случае векторных наблюдений
когда
размерности
Часто оказывается, что не только шум измерений, но и само сообщение является случайным. Пусть
Будем предполагать, что
известны. Очевидно, что рассматриваемые гипотезы можно определить также и следующим образом:
Правило выбора решения для проверки этих гипотез совпадает с правилом (5.49). Отношение правдоподобия при этом имеет вид
Достаточная статистика
здесь аналогична статистике (5.51). Как уже отмечалось ранее, эта достаточная статистика не является такой простой, как в случае одинаковых ковариационных матриц при разных гипотезах Поэтому для нее желательно найти другие представления. В простейшем случае независимых наблюдений, когда каждый элемент выборки
Найдем теперь условное математическое ожидание вектора
Вычислить Действительно, на основании формулы Байеса можно записать Следовательно,
Приведя это выражение к стандартной форме, в которой обычно записывается нормальная плотность вероятности, получим (предполагая, что справедлива гипотеза
где
В следующих двух главах будет подробно описана интерпретация математического ожидания Воспользуемся теперь леммой об обращении матриц, на основании которой для рассматриваемого примера можно записать
Подставляя это представление для обратной матрицы в ф-лу (5.67), получим выражение для достаточной статистики
Используя, наконец, формулу для условного математического ожидания
Это выражение можно интерпретировать как дискретную корреляционную обработку. В частном случае, когда Во многих интересных для приложений случаях шум измерений можно считать белым и при вычислениях принять, что Из полученных для достаточной статистики выражений или следует, что каждый элемент выборки умножается на другие элементы выборки и соответствующий весовой коэффициент Кроме того, при вычислении значения достаточной статистики необходимо обращать несколько матриц. Однако можно ввести специальное обозначение
Эта матрица может быть вычислена заранее. Таким образом, в общем случае вычислению подлежит статистика Полезно рассмотреть случай непрерывного времени, к которому можно перейти, увеличивая неограниченно число отсчетов на конечном временном интервале наблюдения. Использованный ранее подход к задаче различения гипотез, основанный на увеличении размерности вектора наблюдений, в случае непрерывного времени неприменим, поскольку объем выборки
где
Для этих гипотез отношение правдоподобия
Его можно переписать следующим образом
где
Эта форма записи особенно удобна для отыскания отношения правдоподобия при непрерывном времени. Правило выбора решения, основывающееся на использовании логарифма отношения правдоподобия, теперь можно записать в виде
Правая часть соотношения (5.77), для которой введем обозначение
На рис. 5.5 изображена структурная схема устройства, реализующего правило (5.78). Это устройство можно интерпретировать как дискретный согласованный фильтр. Поступающие значения выборки Рис. 5.5 Дискретный согласованный фильтр (векторные сигналы) При построении правила выбора решения для непрерывного времени будем использовать следующую модель наблюдаемого процесса:
где
При замене этой непрерывной модели наблюдаемого процесса соответствующей ей дискретной моделью вместо (5.79) получим
При этом положим, что ковариационная матрица шума
и при
шума
Если теперь объем выборки увеличивать так, что
Следовательно, правило выбора решения, основанное на использовании логарифма отношения правдоподобия, можно записать в виде
где теперь порог
На рис. 5.6 изображена структурная схема байесовского обнаружителя, основной составной частью которого является согласованный фильтр корреляционного типа, аналогичный дискретному согласованному фильтру (см. рис. 5.5). Рис. 5.6 Согласованный фильтр корреляционного типа при непрерывном времени Возможен и другой способ реализации полученного правила выбора решения . Напомним что отклик линейной системы с постоянными параметрами и векторной импульсной характеристикой
Сравним теперь этот интеграл с интегралом в левой части ф-лы (5.87) Очевидно, что для реализации обнаружителя с использованием простого фильтра достаточно положить
Структурная схема обнаружителя с подобным фильтром изображена на рис.5.7. В более простом, но часто встречающемся случае наблюдаемый процесс является одномерным, а дисперсия шума измерений
Рис. 5.7 Возможные способы реализации байесовского обнаружителя с согласованными фильтрами: 1 – фильтр, согласованный с сигналом При реализации этого правила, следовательно, можно использовать согласованный фильтр с импульсной характеристикой
Сигнальная компонента на выходе такого фильтра определяется выражением
т.е. совпадает со средним значением достаточной статистики. Дисперсия шумовой компоненты на выходе согласованного фильтра равна дисперсии достаточной статистики
Таким образом, для скалярного случая отношение сигнал/шум
Может показаться, что соотношения (5.89) и (5.91) приводят к двум различным определениям согласованного фильтра. Однако представление (5.91) является частным случаем более общего выражения (5.89) для импульсной характеристики фильтра. Если исходным является представление (5.89), то сигнальная компонента на выходе согласованного фильтра, которая является скалярной величиной, определяется выражением
в то время как дисперсия шумовой компоненты
Таким образом, в общем случае отношение сигнал/шум
Из этой формулы, как частный случай, получается выражение (5.94). Снова подчеркнем, что в левой части неравенства (5.86) или неравенства (5.90) записано выражение достаточной статистики. Эта статистика является нормальной случайной величиной, так как представляет собой линейный функционал от нормального случайного процесса Другой способ построения байесовского обнаружителя известных сигналов основан на ортогональном разложении наблюдаемого процесса, например, на разложении Карунена-Лоэва Такой подход был использован Ван Триссом [269] и Миддлтоном [163]. Разложение Карунена-Лоэва в данной книге будет использовано при отыскании оптимальных оценок параметров известных сигналов в гл. 6. Перейдем теперь к изучению проблемы проверки сложных гипотез, к которой сводятся задачи обнаружения при наличии неизвестных параметров.
|