5.7. Последовательное обнаружение марковских сигналов в нормальном шумеПроблема обнаружения нормальных сигналов в нормальном шуме уже обсуждалась в § 5.3. Там же были отмечены трудности решения этой проблемы. В данном параграфе будет описан метод вычисления отношения правдоподобия или, что эквивалентно, достаточной статистики для бинарной задачи обнаружения нормальных сигналов в нормальном шуме. Здесь будут использоваться некоторые понятия теории марковских процессов и аппарат разностных и дифференциальных уравнений. Изложение начнем с решения задачи обнаружения для процессов с дискретным временем. Аналогичные результаты для процессов с непрерывным временем будут получены с помощью предельного перехода, когда число отсчетов на конечном интервале времени неограниченно возрастает. В заключение укажем некоторые возможные обобщения рассматриваемых методов, которые позволят охватить задачи с сигналами, отличными от нормальных. Итак, будем рассматривать гипотезы:
Здесь нормальный шум
где Таким образом, имеем:
Отношение правдоподобия для рассматриваемых гипотез имеет вид
Воспользовавшись правилом умножения вероятностей, запишем
Отношение правдоподобия (5.137) представляет собой отношение двух нормальных плотностей .вероятностей. Следовательно, оно полностью определяется первыми двумя моментами соответствующих плотностей. Пусть
Заметим, что при гипотезе
При гипотезе
Для
а также учесть соотношения (5.140). В результате приходим к уравнениям фильтрации Калмана (см. табл. 7.2):
с начальными условиями, задаваемыми при формулировке задачи. Такими условиями могут быть, например, следующие:
Ковариационная матрица ошибок оценивания
Отношение правдоподобия (5.137) теперь можно записать следующим образом:
где достаточная статистика
Следовательно, правило выбора решения, основанное на отношении правдоподобия, при фиксированном объеме выборки
Чтобы воспользоваться полученным правилом, необходимо предварительно вычислить значение правой части неравенства (5.148). В выражении для достаточной статистики (5.147) почти все слагаемые, за исключением Из ф-л (5.147) и (5.148) следует, что значения достаточной статистики можно вычислять последовательно по мере поступления результатов наблюдений. Это означает, что на основе этой статистики можно построить последовательное правило, введя два порога Полезно рассмотреть другой способ получения этих же результатов. В предыдущем разделе уже было показано, что если сигнал является известной функцией времени, зависящей возможно от случайного или неизвестного неслучайного векторного параметра
К сожалению, ур-ние (5.149) нельзя использовать в случае, который рассматривается в данном параграфе, когда сигнал или вектор состояния
Следовательно,
Равенство (5.150) представляет собой требуемое рекуррентное выражение для отношения правдоподобия в задаче обнаружения случайного сигнала. Его следует использовать с начальным значением
По этой формуле отношение правдоподобия может вычисляться после получения каждого очередного наблюдения. В случае непоследовательного правила вычисленное на Получим аналогичные результаты для случая непрерывного времени при следующих моделях полезного сигнала и наблюдаемого процесса:
Здесь
Соответствующие модели при дискретном времени имеют вид
где
Воспользуемся теперь результатами, полученными ранее для процессов с дискретным временем, и найдем соответствующие предельные соотношения, приняв, что
где
Вместо достаточной статистики (5.147) при непрерывном времени получаем
Правило выбора решения, основывающееся на отношении правдоподобия, в соответствии с (5.148) принимает вид
Последовательность «вычислений значения используемой здесь достаточной статистики такая же, как и при дискретном времени. Сначала полученная реализация наблюдаемого процесса используется при решении уравнения фильтрации. Затем эта же реализация и полученное решение используются при вычислении значения достаточной статистики. Финальный момент времени Тот же результат можно получить, если воспользоваться представлением (5.151). В обоих случаях функция правдоподобия или достаточная статистика рассматривается как вектор состояния, и задача состоит в том, чтобы получить разностное или дифференциальное уравнения, описывающие эволюцию этого вектора во времени. Именно процессу получения подобных уравнений будет постоянно уделяться основное внимание в этой книге. Пример 5.7. Выпишем явное выражение для отношения правдоподобия при гипотезах:
и скалярной модели источника сигнала
Уравнения фильтрации Калмана (5157) и (5 158) принимают вид
а для достаточной статистики (5.159) получаем
Непоследовательное правило в соответствии с ф-лой (5.160) для рассматриваемого случая записывается следующим образом.
Для последовательного правила в выражении для достаточной статистики параметр если если если Функция Рис. 5.11. Структурная схема последовательного обнаружителя (пример 5.7) Во многих примерах длительность проверки гипотез настолько велика, что фактически имеется стационарный режим. В этих случаях можно положить
Перейдем теперь к изучению более сложной проблемы обнаружения случайного сигнала, не являющегося нормальным процессом, на фоне аддитивного нормального шума. Для этого случая получим алгоритмы последовательного вычисления отношения правдоподобия. Как будет показано, такие алгоритмы оказываются нелинейными. Рассмотрим гипотезы:
где
а
Здесь
Будем предполагать, что случайные величины Для вычисления отношения правдоподобия воспользуемся соотношением (5.106). На основании правила умножения вероятностей, которое применимо также и для плотностей вероятностей, функцию
Нижние индексы здесь опущены. Так как при гипотезе
Первые два момента этой плотности вероятности запишем следующим образом:
где
В общем случае плотность вероятности (5.165) не является нормальной. Тем не менее обычно полезно ввести «псевдобайесовскую» плотность вероятности, которую можно получить, предположив, что плотности вероятности (5.166) являются нормальными, т. е.
Введя это предположение и учитывая, что
отношение правдоподобия (5.106) запишем в виде
Здесь использовано представление (5.165), а достаточная статистика
Таким образом, правило выбора решения, основанное на отношении правдоподобия, принимает вид
С другой стороны, можно вычислить логарифм отношения правдоподобия
Эта формула может быть использована для вычисления отношения правдоподобия на каждом шаге
Если при этом в разложении функции
Тогда, согласно соотношениям (5.167) — (5.169) и (5.176), можно записать:
где
Если бы алгоритмы для вычисления
с начальным условием
Можно использовать также аппроксимацию второго порядка функции
где введено обозначение (:), чтобы избежать тензорных выражений, которое было приведено в гл 4. При аппроксимации второго порядка имеем:
Выражение для слагаемого Полученные соотношения позволяют ввести аппроксимацию второго порядка для отношения правдоподобия, а также записать дискретные алгоритмы фильтрации, приведенные в табл. 9.8. Такие алгоритмы применяются для вычисления апостериорного среднего значения сигнальной составляющей наблюдаемого процесса, которое затем используется в приведенном ранее правиле выбора решения. Заметим также, что для вычисления отношения правдоподобия на Аналогичные результаты для непрерывного времени нестрого можно получить с помощью следующих предельных переходов:
Нетрудно показать, что
Таким образом, отношение правдоподобия оказывается зависящим только от достаточной статистики. Согласно представлениям (5.172) и (5.173) получаем [102, 147, 209]:
где Один из интегралов в последнем выражении является стохастическим. Полезно заметить, что даже, несмотря на то, что плотность вероятности (5.165) отлична от нормальной при дискретном времени, она оказывается таковой в непрерывном случае; в результате полученные выше приближенные выражения будут точными при непрерывном времени [102]. Подробное обсуждение проблем нелинейной фильтрации будет проведено в § 9.2. Полученные там результаты и приведенные здесь последние два соотношения позволяют достаточно просто решать многие важные в теоретическом отношении задачи построения правил выбора решений при непрерывном времени. Однако с точки зрения практических приложений эти результаты оказываются мало пригодными, поскольку часто невозможно вычислить точно не только значение функции Для получения приближенного решения задачи последовательного обнаружения при непрерывном времени можно воспользоваться линеаризацией соотношений (5.182) и (5.183) с последующим применением приближенных алгоритмов, приведенных в табл. 9.1 и 9.2. Полезно указать другой способ получения уже найденных для непрерывного времени соотношений, не опирающийся на псевдобайесовское предположение. Это предположение было необходимо для введения аппроксимации (5.170). Можно показать [48], что точное выражение для условной плотности вероятности
где
где
Учитывая соотношения (5.168) и (5.189) и переходя к пределу при
Определим теперь случайную величину
Дж. Дуб [56] показал, что при этих предположениях допустим предельный переход при
Если теперь в это выражение ввести обозначение стохастического интеграла, то придем к скалярному варианту статистики (5.193). Тем самым более строго доказана справедливость равенства (5.193). Тот факт, что это равенство справедливо, в то время как (5.132) является лишь приближением, может привести к заключению, что последовательное обнаружение случайного сигнала, не являющегося нормальным, на фоне нормального шума при непрерывном времени в каком-то смысле «лучше», чем при дискретном. Это действительно было бы возможно, если бы удалось точно реализовать требуемые алгоритмы и вычислить стохастические интегралы. Однако это невозможно, так что приближенные алгоритмы должны использоваться как при непрерывном, так и при дискретном времени.
|