7.4. Стационарные процессы и фильтр ВинераЗдесь рассмотрим частный случай задачи, разобранный в предыдущем параграфе, и назовем его фильтром Винера. Для простоты ограничимся исследованием только непрерывного случая. Все выкладки, представленные в этом параграфе, являются частным случаем общей теории фильтра Калмана—Винера. Метод вычислений, основанный на алгоритме фильтра Калмама, вообще говоря, ближе к практическому осуществлению, чем метод, рассматриваемый здесь. С другой стороны, многие практически важные задачи оценивания можно отнести, по крайней мере с достаточным приближением, к стационарным, и методы, излагаемые в этом параграфе и разработанные раньше общей теории Калмана, уже нашли успешное применение в многочисленных практических задачах. В 1949 г. была опубликована работа Винера «Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных последовательностей». Ее публикация явилась важной вехой не только потому, что результаты были новыми и вызвали к себе повышенный интерес, но и (что более важно) они возводили частную задачу в ранг теории, которая в то время нашла широкое применение, в частности, теории частотных фильтров. К сожалению, из-за того, что основные результаты были сформулированы на «частотном языке», они непосредственно не могли быть обобщены на нестационарные задачи. Хотя нестационарная задача и была сформулирована в общем виде, т. е. записано уравнение Винера—Хопфа, но было получено очень мало практических результатов, за исключением только работ Бутона [31], Заде и Рагазини [287], [288]. До тех пор, пока не был разработан алгоритм фильтра Калмана, вычислительные трудности не были преодолены в общем нестационарном случае. Стационарный фильтр Калмана. В стационарном варианте общей задачи оценивания состояния должны выполняться следующие три условия: 1. Модели сообщения и наблюдения не изменяются во времени, т. е. они описываются уравнениями с постоянными коэффициентами:
где 2. Входной шум и шум измерений стационарны, по крайней мере, в широком смысле, т.е.
где 3. Интервал наблюдений начинается при Если эти три допущения выполняются, то, очевидно, задача оценивания уже не зависит от выбора начала отсчета времени в том смысле, что допустимо любое конечное перемещение шкалы времени без изменения условий задачи. Поэтому коэффициент усиления фильтра Калмана должен быть постоянным для конечных значений времени
Постоянный коэффициент усиления Калмана в этом случае определяется как
и, наконец, уравнение фильтрации имеет вид
Заметим, что в стационарном случае уравнение дисперсии превращается в вырожденное матричное уравнение Риккати. Один из часто используемых способов решения ур-ния (7.155) (обычно с помощью ЦВМ) заключается в решении нестационарного уравнения дисперсии (7.105) с соответствующими постоянными значениями коэффициентов, из которых составлены матрицы Пример 7.7. Определим стационарный фильтр, обеспечивающий минимальною дисперсию ошибки, для системы где Вырожденное уравнение Риккати (7.155) для этого примера записывается в виде Если перемножить все указанные матрицы, то получим следующие три уравнения Решение последнего уравнения относительно
Таким образом, мы нашли, как и требовалось, действительные положительно определенные корни вырожденного уравнения Риккати. Чтобы найти постоянный коэффициент усиления фильтра Калмана
На рис. 7.9, а показана «каноническая» реализация фильтра Винера. Если нас интересуют, как это часто бывает, только оценки состояния Рис. 7.9. Структурные схемы фильтров, рассмотренных в примере 7.7 Фильтр Винера. Выше результаты решения стационарной задачи оценивания были получены путем введения дополнительных предположений, связанных со стационарностью задачи и позволивших упростить обобщенный алгоритм фильтрации Калмана. В частности, было установлено, что фильтр Калмана становится стационарным. Теперь сформулируем стационарную задачу оценивания в другой форме, достаточно близкой к первоначальной работе Винера. Сформулируем задачу на «частотном языке» с использованием таких понятий, как передаточные функции, спектральные плотности. На первый взгляд может показаться, что существует лишь незначительная связь между задачами Калмана и Винера. Однако ниже будет показано, что эти две задачи эквивалентны, хотя решение, полученное в форме фильтра Калмана, с точки зрения вычислений часто оказывается предпочтительнее. Задачу можно представить в виде структурной схемы, изображенной на рис 7.10. Сигнал Рис. 7.10. Представление многомерной задачи фильтрации Винера. некоррелированные стационарные случайные процессы с нулевым средним и со спектральными плотностями
где Согласно теореме Парсеваля среднеквадратическая ошибка может быть выражена через матрицу спектральных плотностей ошибки
Это выражение, которое определяет среднеквадратическую ошибку как интеграл спектральной плотности ошибки, заданной в области комплексных частот, позволяет выполнить вывод уравнения фильтра в частотной области, оперируя лишь со спектральными плотностями. Этот частотный подход позволяет значительно упростить выкладки, но, очевидно, его применение ограничено лишь стационарными задачами. Спектральная плотность ошибки, которая может быть найдена методами, рассмотренными в § 3.5, равна
Подставляя это выражение в ур-ние (7.159), получаем
Задача состоит в том, чтобы выбрать матричную передаточную функцию
где
при произвольной Воспользуемся этим методом для решения сформулированной задачи оценивания. Если считать, что
Здесь мы ввели два аргумента
Если воспользоваться свойством симметрии матриц спектральной плотности и тождеством
Уравнение (7.166) будет удовлетворяться при произвольной
Это решение соответствует физически нереализуемому фильтру Винера, поскольку Для того чтобы Допустим, что матрица спектральной плотности
где
Представим
где Матрицу Если подставить ур-ние (7.170) в (7.169), то необходимое условие оптимальности запишется в виде
Однако второй интеграл здесь равен нулю, так как все полюса
Поэтому оптимальный физически реализуемый фильтр имеет передаточную функцию
которую можно также выразить через исходные величины
Итак, мы получили окончательное решение многомерной стационарной задачи оценивания в форме матричного фильтра Винера. Матричный фильтр Винера как решение многомерной стационарной задачи оценивания был получен Дарлингтоном [49], Янгом и Томасом [279], а также Девисом [51]. Однако этот результат не нашел широкого применения в инженерной практике из-за достаточно трудных проблем вычислительного характера, связанных с необходимостью факторизации спектра, заданного в виде матрицы. Хотя в работах [2], [90], [198] приведены вычислительные процедуры для факторизации спектра, которые основаны на решении матричных уравнений Риккати, широкое использование алгоритмов фильтрации Калмана вытеснило многих сторонников использования матричного фильтра Винера. В том случае, когда сигнал
где
В одномерном случае
и, наконец, когда сигнал
Пример 7.8. Рассмотрим простую одномерную задачу. Спектральная плотность сигнала равна
Факторизацию спектра легко выполнить, и в результате имеем:
Отметим, что два полюса, расположенные в начале координат, были разделены так, что один из них был отнесен к правой полуплоскости, а другой — к левой полуплоскости. Используя ур-ние (7.179), получаем:
Рассмотрим числитель этого выражения. Разложение на элементарные дроби имеет вид
Функция
и передаточная функция оптимального фильтра
Минимальная величина дисперсии ошибки вычисляется путем подстановки выражения для
где
табулированы для всех значений
Однако сведение выражений к табличным интегралам часто требует выполнения громоздких алгебраических преобразований. Если сигнал и шум некоррелированны, то
Анализируя отдельно каждый член, входящий в это выражение, можно заметить, что разложение на множители, которое необходимо для сведения интегралов к табличным, легко выполняется просто разложением на множители спектральных плотностей Полезным свойством этого метода является то, что он сразу дает возможность разделить среднеквадратическую ошибку на составляющую сигнала и составляющую шума. Если соответственно обозначить эти составляющие как
где
Пример 7.9. Воспользуемся представленным выше методом для определения минимальной величины среднеквадратической ошибки оптимального фильтра, синтезированного в примере 7.8.. Так как сигнал и шум некоррелированны, то воспользуемся упрощенными уравнениями (7.184) — (7.186). Среднеквадратическая ошибка определяется выражением Это выражение записано в таком виде, который позволяет непосредственно использовать для вычислений табличный интеграл (7.182) с параметрами
Согласно выражению (7.186) шумовая составляющая среднеквадратической ошибки
И в этом случае воспользуемся табличным интегралом с параметрами: Наконец, находим суммарную среднеквадратическую ошибку:
Более полное исследование фильтра Винера, в том числе и ряд обобщений основной теории, интересующийся читатель может найти в литературе (см. например, [171], [202], [299*]). Дискретный вариант фильтра Винера подробно изучен в [123]. Соотношение между стационарными фильтрами Калмана и Винера. В предыдущих пунктах этого параграфа были исследованы два различных метода решения стационарной задачи оценивания. Уравнение стационарного фильтра Калмана, или вырожденной формы обобщенного фильтра Калмана, было получено во временной области и выражено через переменные состояния. Уравнение фильтра Винера, напротив, было получено в частотной области и выражено через частотную характеристику. В обоих случаях вывод уравнения базировался на непосредственном использовании методов вариационного исчисления. При неглубоком анализе может показаться, что эти два подхода имеют мало общего. Однако это не так, и существует тесная связь между этими двумя подходами. Основное отличие между задачами, сформулированными для фильтров Калмана и Винера, состоит в способе задания модели сообщения. При рассмотрении фильтра Калмана модель сообщения задается векторным дифференциальным уравнением первого порядка (7.151), а связанная с ней модель наблюдений — ур-нием (7.152). При рассмотрении фильтра Винера модель сообщения задается через спектральную плотность
Точно также, если задана спектральная плотность сообщения, то можно всегда определить связанные с ней векторные дифференциальные уравнения первого порядка, формирующие процесс с заданной спектральной плотностью. В частности, для скалярного наблюдения можно разложить
то можно построить модель сообщения с переменной фазой в виде [см. (7.151) и (7.152)]
Чтобы установить эквивалентность стационарных фильтров Калмана и Винера, выберем модели сообщения и наблюдений в постановке задачи Калмана и найдем их эквивалентное спектральное представление, которое необходимо при использовании подхода Винера. Затем решим эти две задачи оценивания и сравним полученные результаты. Предположим, что модели сообщения и наблюдений при решении задачи методом Калмана заданы уравнениями:
где Предположим, что система, описываемая ур-нием (7.190), асимптотически устойчива и управляема. Эквивалентная спектральная плотность сигнала
где
а спектральная плотность шума
Матрица
где Стационарная задача фильтрации Калмана теперь сформулирована как многомерная задача фильтрации Винера и могут быть применены результаты решения, полученные в предыдущем пункте. На первом этапе матрица спектральной плотности
должна быть разложена согласно (7.168). Спектр факторизуется если в качестве
где
и
Существование такого решения гарантируется устойчивостью ур-ния (7.190) (см. § 7.5). Приведенное выше разложение спектра может быть проведено непосредственной подстановкой. Произведение
Так как или
После исключения членов
Итак, мы показа ли, что
Так как
так что
Используя теорию линейного регулирования [108] и принцип дуальности, можно показать, что все корни полиномов Если матрицу
Теперь необходимо выполнить разложение на простые дроби и выделить физически реализуемую часть фильтра
Добавляя или
Так как
так что
Если это уравнение теперь подставить в ф-лу (7.203), то передаточная функция
Согласно лемме об обращении матриц
так что
После разложения
и выполнения ряда алгебраических преобразований
Используя те же самые доводы, что и при анализе
Если еще раз применить лемму об обращении матриц и использовать ур-ния (7.193) и (7.210), то получим
или
Стационарный фильтр Калмана, обеспечивающий решение рассматриваемой задачи, определяется ур-ниями (7.155) —(7.157), причем Вообще говоря, алгоритм Калмана в вычислительном отношении обладает преимуществом перед алгоритмом Винера главным образом благодаря тому, что он лучше приспособлен для вычислений на ЦВМ, особенно при решении многомерных стационарных задач или уравнений высокого порядка, в которых наблюдение является вектором, а также нестационарных задач. С другой стороны, имеется ряд задач, в которых факторизация спектра можжет быть выполнена в общем виде, и это позволяет глубже вникнуть в сущность полученного решения. Методом Винера могут быть также исследованы случаи небелого шума наблюдений, идеальные операции предсказания и задержки, а также учтены ограничения, связанные с насыщением и ограниченной полосой пропускания системы [172], [202]. Заметим, однако, что после того, как найден оптимальный фильтр
|