8.4. Анализ ошибок и априорные данныеВ течение последних лет методы нестационарной (во времени) фильтрации и сглаживания широко использовались в различных задачах. Задачи фильтрации и сглаживания подразумевают оценивание сигнала по наблюдениям, состоящим из аддитивной смеси сигнала и шума. Различие этих двух задач состоит в моментах времени оценки сигнала и в интервалах времени наблюдения. В задачах фильтрации оценку получают в конце интервала наблюдения, при сглаживании сигнал оценивается в некоторые моменты внутри интервала наблюдения. В гл. 7 и § 8.2, 8 3 эти проблемы основательно обсуждены. Две трудности препятствуют практическому использованию уравнений фильтрации и сглаживания – это выбор математической модели вектора состояний оцениваемого сигнала и выбор соответствующих ковариационных матриц сигнала и наблюдения, используемых при решении этих задач. Желательно, чтобы модель сигнала описывала его достаточно полно и в то же время была проста настолько, чтобы алгоритмы фильтрации поддавались численному решению Матрицы ковариаций для сигнала и шума измерений также желательно иметь такие, чтобы они соответствовали реальным процессам. К сожалению, полное статистическое описание подобных процессов, как правило, невозможно. Основным показателем расхождения (модели и сигнала и матриц ковариаций является анализ чувствительности ковариационной матрицы ошибок оценивания. Анализ чувствительности в задачах фильтрации при больших ошибках был рассмотрен для случая дискретных наблюдений в [60], [87], [173], [174], а для непрерывного времени в [175] Детальный анализ чувствительности в задачах сглаживания дан в [82], [84] В этом разделе построим алгоритмы, необходимые для анализа чувствительности в задачах сглаживания и фильтрации. Эти алгоритмы будут получены для задач сглаживания в фиксированной точке и сглаживания на временном фиксированном интервале. Отсюда как частные случаи будут получены алгоритмы чувствительности задач фильтрации. Анализ ошибок и чувствительности уравнений фильтрации и сглаживания на фиксированном интервале при непрерывное времени. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение разработанных ранее алгоритмов вычисления ковариационных матриц ошибок оценивания и дифференциальных матричных функций чувствительности в малом и большом. Предположим, что процесс описывается моделью
и предположим, что измерения (наблюдения) могут быть представлены в линейной форме
Будем считать также, что шумы нормальные белые с нулевыми средними и матрицами интенсивностей
может быть описан уравнениями, содержащимися в табл 7.4.
где Дифференциальное уравнение для оценки сглаживания на фиксированном интервале, полученное минимизацией выражения
дано в табл. 8.3. Оценка вектора состояний удовлетворяет уравнению
Ковариационная матрица ошибок также удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, но только в том случае, когда модель процесса и априорные данные достоверны. Это дифференциальное уравнение имеет вид
Начальные условия для (8.185) вытекают из решения задачи фильтрации. Как уже известно, ур-ния (8.184) и (8 185) решаются в обратном времени для всех Указанные алгоритмы оптимальной фильтрации и сглаживания обеспечивают минимальный риск только в том случае, если модель совпадает с реальным процессом. Если же этого не происходит, то матрица ковариаций ошибок оценивания уже не является истинной (ковариационной матрицей ошибок Таким образом, действительная ковариационная матрица ошибок может выявлять ошибки, возникающие в результате использования некорректной модели. Поэтому эта матрица играет первостепенную роль в любом анализе ошибок и исследовании чувствительности алгоритмов фильтрации и сглаживания Как сейчас будет показано, для действительной матрицы ковариаций можно получить специальное дифференциальное уравнение Сначала предположим, что реальный физический процесс точно описывается уравнением
а вектор измерений равен
и величины
и ошибки сглаживания
Используя введенные соотношения, можно получить дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять ошибки оценивания. В случае фильтрации имеем
а для сглаживания
где
В ур-ниях (8 191) и (8.192) для упрощения записи у некоторых функций не указан аргумент (время) Образовывая новый вектор состояний, можно векторные дифференциальные уравнения для действительной ошибки фильтрации сглаживания и ошибки модели свести в одно дифференциальное уравнении. Этот вектор можно определить как
а новый входной вектор
Тогда новое уравнение для вектора состояний можно записать как
Теперь, внося операцию усреднения под знак дифференциального оператора, можно найти уравнение для «ковариационной матрицы процесса Дифференциальное уравнение для
где
Для того чтобы двигаться дальше, следует вычислить взаимные ковариационные члены в (8 200). В следующем ниже примере, который читатель, интересующийся только конечным результатом, может пропустить, показано, как вычисляются взаимные кавариации.
Расширяя матрицу ковариаций для
где
где
а
Эти соотношения легко получить методами, развитыми в § 3.5. Начальными условиями для предыдущих уравнений являются
Если матрицы Дополнительные дифференциальные уравнения:
с начальными условиями:
должны быть решены в том случае, если в задаче сглаживания необходимо найти ковариационную матрицу действительных ошибок сглаживания. Вычисление по этим соотношениям следует непосредственно и предоставляется читателю в качестве упражнения. Два из предыдущих дифференциальных уравнений могут быть исключены. Это можно сделать путем следующего определения матриц:
Поскольку правые части этих тождеств удовлетворяют дифференциальным уравнениям и начальным условиям левой часть, то указанные тождества справедливы. Использование этих тождеств в ур-нии (8.207) дает
что является эквивалентным выражением для полученных ранее соотношений (8.207) — (8.209). Для нахождения ковариационной матрицы сглаживания ур-ния (8 210), (8.211) и (8.215) должны решаться в обратном времени для всех Если ковариационная матрица действительной ошибки найдена, то матричные функции чувствительности в большом определяются соотношениями:
для случаев фильтрации и сглаживания соответственно; Действительный риск как для фильтрации, так и для сглаживания может быть записан в виде
Ecли различия между моделью и действительным процессом невелики, то полезным оказывается анализ чувствительности дифференциального типа или чувствительности в малом.Матрица чувствительности в малом для алгоритмов фильтрации определяется как
где Если взять частную производную от обеих частей ур-ния (8.203), поменять порядок дифференцирования и множество параметров действительного процесса заменить на множество параметров модели фильтрации, то получим дифференциальное уравнение для чувствительности в малом, которое имеет вид
где
Начальным условием для этого выражения является соотношение
Подобное начальное условие позволит нам вычислить чувствительность действительной ковариационной матрицы и разности начальных дисперсий модели и действительного процесса. Заметим, что матричная функция чувствительности в малом может быть вычислена легче, чем чувствительность в большом. Однако последняя более полезна. Матричная функция чувствительности в малом позволяет найти еще две величины, представляющие интерес. Можно найти матрицу разности между действительной ковариационной матрицей и ковариационной матрицей моде
где
Полученное выше выражение для чувствительности функции риска имеет такой же вид, который использовался в [202]. Для задач сглаживания также можно определить матричную функцию чувствительности
Так же, как и в случае фильтрации, «можно получить для этой функции следующие дифференциальные уравнения:
где
Кроме того,
Начальными условиями являются:
Аналогичные результаты для анализа чувствительности в малом можно получить и для алгоритмов сглаживания на фикшрован ном интервале. В табл. 8.9 ,и 8.10 приведены алгоритмы анализа ошибок и чувствительности для задач фильтрации и сглаживания на фиксированном интервале в непрерывном времени. Используя ту же методику, можно получить и дискретный аналог выведенных алгоритмов. Без вывода они даны в табл. 8.11 и 8.12. Таблица 8.9. Алгоритм анализа ошибок и чувствительности для фильтрации в непрерывном времени
Таблица 8.10. Анализ ошибок и чувствительности алгоритмов сглаживания на фиксированном интервале в непрерывном времени (алгоритмы фильтрации табл. 8.9 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)
Таблица 8.11. Дискретные алгоритмы анализа ошибок и чувствительности фильтрации
Таблица 8.12. Дискретные алгоритмы анализа ошибок и чувствительности для сглаживания на фиксированном интервале (алгоритмы фильтрации табл. 8 11 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)
Поскольку получение предыдущих результатов заняло много места и времени, мы рассмотрим один простой пример, чтобы продемонстрировать разработанные идеи. Более сложные примеры можно найти в [82, 84]. Пример 8.3. Рассмотрим простой пример, в котором предположим, что модель процесса описывается соотношениями: где предполагаемая дисперсия шума равна Уравнение для ковариационной матрицы ошибок фильтрации имеет вид Если предположить, что параметры где и Непосредственное использование (8.216) дает выражение для чувствительности в большом алгоритмов фильтрации: Дифференциальные уравнения матричных функций чувствительности в малом можно получить из (8.219) н (8.220) в виде где с начальными условиями Эти соотношения можно также получить из действительной ковариационной матрицы, используя определение чувствительности. На рис. 8.1 и 8.2 приведены для данного примера функции чувствительности в большом и в малом. Здесь выражения для чувствительностей в большом и малом одинаковы для исходной и вычисленной ковариационной матриц. Рис. 8.1. Функции чувствительности дисперсии ошибки в зависимости от изменений начальной дисперсии ошибки и дисперсии измерений: Рис. 8.2. Функции чувствительности при изменении константы измерений: Зависимость чувствительности от параметра В этом примере ковариационная матрица ошибок сглаживания Рис. 8.3. Сравнение чувствительности в большом и малом при изменении константы измерений. «Вычисляемая» дисперсия ошибки фильтрации всегда уменьшается при увеличении времени наблюдения. Для численного анализа выражений для действительной дисперсии положим Интересно отметить, что действительная ошибка (дисперсия) не достигает нуля при больших t до тех пор, пока Если модель наблюдения не содержит ошибок, Анализ ошибок и чувствительности линейных алгоритмов сглаживания в фиксированной точке. Предположим, что непрерывный процесс может быть задан векторным дифференциальным уравнением (8.178), а модель наблюдения линейна [см. (8.179)]
Оценка сглаживания в фиксированной точке удовлетворяет дифференциальному уравнению
где
а
Начальным условием служит оценка
Ковариационная матрица ошибки оценивания может быть получена из уравнения
Эта матрица ошибок удовлетворяет ур-нию (8.234) только в том случае, если модель и ее априорные характеристики совпадают с действительным процессом и его характеристиками. На практике обычно это условие не выполняется. Поскольку действительная ковариационная матрица ошибок оценивания позволяет выявить ошибки при использовании неадэкватной модели, она играет основную роль в анализе ошибок и чувствительности алгоритмов сглаживания В непрерывном времени действительная ковариационная матрица вычисляется следующим образом. Сначала постулируем модель для действительного процесса в том же виде, что и в ур-ниях (8.178), (8.179), за исключением того, что не ставим черты сверху. Далее находим дифференциальное уравнение для действительной ошибки оценивания подстановкой соотношений:
в (8.230), где действительные ошибки оценок фильтрации и сглаживания определены выражениями:
Тогда результирующее дифференциальное уравнение для ошибки оценивания имеет вид
Для простоты обозначений зависимость матриц от временного параметра не указана;
где
Матрицы
где
Затем необходимо усреднить произведение вектора
В последнем выражении два средних (внутренних) интеграла равны нулю, так как среднее в подынтегральных выражениях для всех
Если взять внутренний интеграл в последнем слагаемом (8.242), то, используя свойства дельта-функции, можно получить
Члены этого уравнения содержат искомые ковариационные матрицы. Однако численное решение этого уравнения затруднительно. Эти трудности можно обойти, если найти дифференциальное уравнение для
По определению имеем
где
а
где
Начальными условиями являются:
Дифференциальные уравнения для Как только действительные ковариационные матрицы ошибок найдены, матричные функции чувствительности в большом можно определить из соотношения
По определению Дифференциальная матричная функция чувствительности (чувствительность в малом) 'находится из выражения
Символом Прямое вычисление (8.254) если не невозможно, то затруднительно, потому что почти не существует аналитических решений для действительных матриц ковариаций. Если взять частную производную от обеих частей ур-ния (8.248), то можно найти дифференциальные уравнения, решением которых является искомая функция чувствительности. Если после этого поменять порядок дифференцирования, то получим
где
В ур-нии (8 255) член
Пример 8.4. Рассмотрим упрощенную модель, в которой принимаемый амплитудно модулированный сигнал аддитивно взаимодействует с белым шумом. Пусть полезный сигнал имеет вид где элемент На рис. 8.5-8.7 представлены результаты некоторых вычислений. Здесь дисперсии величин Рис. 8.5. Дисперсия ошибок оценки сигнала с момента 0,2 с для различных значений дисперсии шума наблюдений: 1 — действительная дисперсия; 2 — предполагаемая дисперсия Рис. 8.6. Чувствительность дисперсии ошибки оценки сигнала к 10%-ному изменению несущей частоты в зависимости от времени наблюдения Рис. 8 7. Дисперсия ошибки оценки сигнала для различных значений несущей частоты: 1— действительная дисперсия; 2 — предполагаемая дисперсия Здесь дисперсия ошибки предсказания сигнала в момент 0,2 с [вычисленная по (8.248)] приведена как функция времени, при котором появляются иовые наблюдения. На рис 8 6 представлен график функции чувствительности в большом дисперсии ошибки оценки для случая, когда истинная частота сигнала на 10% выше предполагаемой. Влияние ошибки в выборе частоты несущей показано на рис. 8.7. Алгоритмы анализа для сглаживания в фиксированной точке в непрерывном времени сведены в табл. 8ЛЗ, а для дискретного случая в табл. 8.14. Таблица 8.13. Алгоритмы анализа ошибок и чувствительности для сглаживания в фиксированной точке в непрерывном времени (алгоритмы фильтрации табл. 8.9 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)
Таблица 8.14.Алгоритмы анализа ошибок и чувствительности алгоритмов сглаживания в фиксированной точке в дискретном времени (алгоритмы фильтрации табл 8.11 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)
Вычисление соответствующих алгоритмов для сглаживания с фиксированной задержкой мы оставляем в качестве упражнения для заинтересованного читателя. Теперь основное внимание будет уделено вычислению границ ошибок для ковариационных матриц ошибок фильтрации и сглаживания. Границы ошибок. Нишимурой [175] были найдены границы дисперсии ошибок при использовании алгоритма фильтрации Калмана — Бьюси. Основной результат содержится в следующей теореме: если
для всех Следовательно, если приведенные выше соотношения выполняются, то существует верхняя грань дисперсии ошибки сглаживания в точке даже в том случае, если дисперсия истинного процесса 'неизвестна. Теорема, данная выше, применима только к непрерывным уравнениям сглаживания в точке. Однако, поскольку время Проверить указанную теорему можно, выписав дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять действительные ковариационные матрицы. Для алгоритмов фильтрации— это ур-ние (8.203) при условии, что
где В такой ситуации, когда единственным отличием модели оценки от реального процесса является различие в ковариационных матрицах, (8.248) сводится к уравнению
где
а затем для
где
Далее, если
Решение этого уравнения можно записать в виде
где
Теперь, если Пример 8.5. Предположим, что необходимо передать сигнал известной частоты с неизвестной амплитудой и фазой. Принимаемый сигнал может быть записан в виде здесь Оптимальная оценка сигнала Рис. 8.8. Дисперсии ошибок для различных
Рис. 8 9 Дисперсия ошибки оценки при различных На рис. 8.8 приведены графики вычисленной и истинной дисперсии ошибок оценки сигнала (сигнала
|