9.5. Нелинейное сглаживаниеСглаживание в фиксированной точке. В тех случаях, когда требуется получать оценку только в конечном числе точек некоторого интервала наблюдения, для нахождения последовательного алгоритма сглаживания в заданной точке можно использовать метод инвариантного погружения с «фиксированным шагом» или с «фиксированным временем». Пусть имеется дискретная нелинейная задача второго порядка, определяемая уравнениями (9.78) и (9.79). Необходимо найти наилучшую оценку вектора состояний на некотором фиксированном шаге, скажем, шаге
где отражена зависимость оценки
Далее, разлагая (9.79) в ряд в окрестности точки
Для того чтобы
Левая часть предыдущего уравнения может быть выражена в виде
где
где
можно (воспользоваться уравнением инвариантного погружения для
Решение ур-ний (9 143) и (9 144) определяет начальные значения, которые должны быть получены к моменту
налагается ур-нием (9.141), а ур-ния (9.141) и (9.142) должны одновременно решаться на шаге При увеличении частоты дискретизации (9.141) и (9.145) переходят в уравнения инвариантного погружения в непрерывном времени. Легко показать, что при этом уравнение инвариантного погружения с фиксированным временем будет иметь вид
где
причём
Уравнения инвариантного погружения с фиксированным временем в непрерывном случае были получены также другим способом в работе [99]. Переходя к приближенным алгоритмам сглаживания в фиксированной точке, предположим, что решение ур-ний (9.141) и (9.142) можно представить в виде
используя разложение в ряд Тейлора, получаем
где
Эти соотношения представляют приближенные уравнения сглаживания в фиксированной точке. Для того чтобы их можно было использовать, необходимо одновременно решать приближенные уравнения фильтрации, приведенные в табл. 9.3. Пример 9.10. Рассмотрим линейное оценивание по методу наименьших квадратов для модели, определяемой следующими соотношениями:
Для такой модели граничная задача второго порядка удовлетворяет ур-ниям (9.76) и (9.77): Используя алгоритм приближенного нелинейного сглаживания в точке, полученный выше, уравнения оценки в фиксированной точке можно записать в виде Последнее уравнение преобразуется следующим образом: Введя функцию где Если В табл. 9.12 приведены алгоритмы для дискретного сглаживания в фиксированной точке. К ним необходимо присоединить алгоритмы фильтрации из табл. 9.3. До шага Таблица 9.12. Дискретные нелинейные алгоритмы сглаживания по критерию МАВ в фиксированной точке (модели сигнала и наблюдения и алгоритмы фильтрации те же, что и табл. 9.3)
Из дискретных уравнений инвариантного вложения можно получить несколько уравнений сглаживания в точке в непрерывном времени путем увеличения частоты дискретизации или использованием ур-ния (9.146) так, что
где и
причем
Для того чтобы получить непрерывные алгоритмы сглаживания в точке, мы используем определения
Если подставить эти соотношения в (9.156) и (9.161), то получим искомые уравнения. Из (9 160) и (9 161) следуют алгоритмы фильтрации в непрерывном времени (табл. 9.4), которые при решении задачи сглаживания должны быть присоединены к уравнениям табл. 9.13. Таблица 9.13. Непрерывные нелинейные алгоритмы сглаживания в точке по критерию МАВ (для решения к этим алгоритмам должны быть присоединены алгоритмы фильтрации из табл. 9.4)
Сглаживание на фиксированном интервале. При выводе уравнений фильтрации мы получили приближенное решение граничной задачи второго порядка, описываемое ур-ниями (9.76) и (9.77) только для фиксированного шага Рассмотрим граничную нелинейную задачу второго порядка в форме ур-ний (9.76) и (9.77) Если алгоритмы фильтрации используются для оценки вектора
где через
Таким образом, до конечного шага используются алгоритмы фильтрации в прямом времени. Далее значения Алгоритмы в непрерывном времени можно получить либо предельным переходом, либо полагая, что Имеем:
причем необходимо использовать данные табл. 9.4, чтобы получить алгоритмы фильтрации. Окончательные алгоритмы, которые получаются при использовании соотношений для Таблица 9.14. Дискретные алгоритмы сглаживания на фиксированном интервале (предварительно должны быть использованы алгоритмы фильтрации из табл. 9.3)
Таблица 9.15. Непрерывные алгоритмы сглаживания на фиксированном интервале (предварительно должны быть использованы алгоритмы фильтрации из табл. 9.4)
Часто начальные условия для задачи сглаживания в дискретном времени вычислить затруднительно. Трудность состоит в том, что В некоторых частных случаях удобно выразить (9.173) приближенным уравнением. Когда нелинейность содержится только в наблюдаемой модели
где Конечно, это соотношение может быть использовано и для нелинейной модели сообщения со следующим приближением:
Сглаживание с фиксированной задержкой. Мы получили алгоритм сглаживания на заданном интервале в виде приближенного решения граничной задачи второго порядка, описываемой ур-ниями (9.76) и (9.77). С точки зрения вычислений этот алгоритм обладает двумя недостатками. Его необходимо реализовать не в реальном времени и, кроме того, нужно запомнить оценку фильтрации и ее ковариационную матрицу ошибок. Как альтернативный подход к решению задачи оценивания на фиксированном интервале можно рассмотреть сглаживание с фиксированной задержкой. При этом алгоритм реализуется в реальном масштабе времени и требования к памяти существенно меньше, чем при сглаживании на фиксированном интервале. При оценивании состояния Замена
Заменяя в (9.170)
Подставляя это соотношение в (9.179), получаем приближенный алгоритм сглаживания с фиксированной задержкой:
Соотношение для Уравнения сглаживания в непрерывном времени можно получить, если воспользоваться упомянутым выше предельным переходом
Для того чтобы
которое можно получить из (9.174) и (9.175) в случае сглаживания на фиксированном интервале. Здесь начальное условие задается оценкой Таблица 9.16. Дискретные алгоритмы сглаживания с фиксированной задержкой (к данным алгоритмам должны быть присоединены алгоритмы фильтрации из табл. 9.3 и алгоритмы сглаживания в фиксированной точке из табл. 9.2)
Таблица 9.17. Непрерывные алгоритмы сглаживания с фиксированным интервалом (к этим уравнениям должны быть присоединены уравнения фильтрации и сглаживания в точке из табл 9.4 ,и 9.18)
Приближенные выражения для ковариационных матриц ошибок. Часто необходимо оценить увеличение точности при применении различных алгоритмов «сглаживания в зависимости от времени, которое тратится «а решение при использовании алгоритмов фильтрации. Для одного класса нелинейных систем, рассматриваемых ниже, можно найти приближенные соотношения для ковариационных матриц ошибок. Эти соотношения переходят в точные в случае идентично определенных линейных систем. Как для дискретного, так и для непрерывного времени приближенные выражения для ковариационных матриц ошибок представлены в табл. 9.3 и 9.4. Выше было показано, что линеаризация граничной задачи второго порядка приводит к возможности использования расширенных уравнений для ковариационной матрицы ошибок для оценки ковариационной матрицы ошибок нелинейного сглаживания. Представленные ниже приближенные уравнения для вычисления ковариационной матрицы ошибок сглаживания используют этот результат. В случае сглаживания в фиксированной точке приближенный алгоритм определяется ур-нием (9.156) для Приближенные алгоритмы нелинейного оценивания для случаев: фильтрации, сглаживания на интервале, в заданной точке с фиксированной задержкой и одношагового предсказания были получены на основе байесовской теории оценок, а выбранная функция риска соответствовала критерию максимума апостериорной вероятности. Был использован дискретный принцип максимума и получена граничная нелинейная задача второго порядка, которая была решена методом инвариантного погружения в «текущем и фиксированном времени», что позволило определить соответствующие уравнения фильтрации и сглаживания. Был получен также алгоритм одношагового предсказания. Линеаризацией нелинейной граничной задачи второго порядка были представлены соответствующие алгоритмы для ковариационных матриц ошибок. Полученные уравнения оценивания являются приближенными, но они важны в том смысле, что для аналогично определенной линейной модели они переходят в найденные ранее алгоритмы для линейной системы с линейной моделью наблюдений. В некоторых случаях члены высших порядков, отсутствующие в линейных уравнениях, часто улучшают качество оценивания вектора состояний системы. Пример 9.11. Продолжим исследование задачи 9.10. Все предположения и модель сообщения остаются неизменными. Алгоритмы сглаживания в точке:
Алгоритм сглаживания на фиксированном интервале
где
Алгоритм сглаживания с фиксированной задержкой принимает вид
где Алгоритмы одношагового предсказания даются соотношениями:
Неявно мы использовали алгоритмы одношагового предсказания для нахождения алгоритмов фильтрации Кроме того, использовалось выражение для Рис. 9.14. Приближенная дисперсия ошибки сглаживания в фиксированной точке на шаге Рис 9.15. Дисперсии ошибок сглаживания с фиксированной задержкой и фильтрации Рисунок 9.14 иллюстрирует поведение дисперсии ошибки сглаживания в точке на 1001-м шаге для
|