2.2. Теория вероятностейТеория вероятностей изучает усредненные характеристики событий или экспериментов, которые могут быть описаны математически. Основное положение теории заключается в том, что некоторые из этих средних величин приближаются к детерминированным величинам, когда число испытаний или наблюдений возрастает. Например, при бросании монеты герб выпадает примерно в половине случаев, если бросать монету достаточно большое число раз. Для того чтобы четко определить область применения теории вероятностей, необходимо быть точным при описании экспериментов, содержащих элемент случайности. Будем называть результат эксперимента просто исходом. Набор всех возможных исходов данного эксперимента представляет собой выборочное пространство Отношение числа случаев, когда появляется событие, к общему числу испытаний называется относительной частотой появления события. Когда число испытаний неограниченно возрастает, мы говорим об относительной частоте как о вероятности появления этого события. Таким образом, запишем вероятность
где Если выборочное пространство состоит из
Другими словами, сумма вероятностей независимых событий, которые составляют выборочное пространство, равна единице. Кроме того, отметим, что вероятность любого события всегда неотрицательна. Иногда два эксперимента проводятся одновременно и необходимо определить вероятность появления события
Но эти две вероятности не полностью описывают возможные исходы эксперимента, так как представляет интерес также вероятность совместного появления событий
Пусть в ф-ле (2.4) представляет интерес только одна величина, например,
где
Подобным же образом находим
где Нас может интересовать вероятность появления как события
Член Типичной задачей теории связи является определение оценки передаваемого сообщения по известному принятому сигналу. Для решения этой задачи необходимо знать или иметь возможность вычислить вероятность того, что передаваемое сообщение присутствует в принятом сигнале. Таким образом, желательно иметь возможность определить вероятность появления события
где
Если совместная вероятность
для всех возможных
и аналогично
Представляет интерес скомбинировать ф-лы (2.10) и (2.9) так, чтобы исключить вероятность совместного появления. В результате получим формулу Байеса
Формула или теорема Байеса широко используется в теории оптимальных оценок. Часто известна условная вероятность принятого сообщения и требуется определить условную вероятность переданного сообщения при данном принятом сообщении. Теорема Байеса дает метод получения этой вероятности. В этом разделе были изложены основные понятия теории вероятностей, базирующиеся на понятии относительной частоты появления события. Мы оставили в стороне более строгий аксиоматический подход к теории вероятностей с тем, чтобы подчеркнуть физическую природу вероятности и ее связь с экспериментальными результатами.
|