3.5. Нечеткие числа

В теории нечетких систем выделяются нечеткие множества, которые определяются на оси действительных чисел. Например, нечеткие множества чисел, «близких числу 7» (рис. 3.21) определены на множестве  и, кроме того, являются нормальными и выпуклыми, а также имеют непрерывные функции принадлежности. Дадим определение понятия «нечеткое число».

Определение 3.19

Нечетким числом называется нечеткое множество , определенное на множестве действительных чисел , функция принадлежности которого

отвечает условиям:

1)      , т.е. нечеткое множество  нормализовано;

2)      ,  т.е. множество  выпуклое;

3)      .

На рис. 3.21 представлены примеры нечетких чисел. В теории нечетких систем различаются положительные и отрицательные нечеткие числа.

Определение 3.20

Нечеткое число  положительно, если  для всех .

Нечеткое число  отрицательно, если  для всех .

На рис. 3.22 представлен пример положительного и отрицательного нечетких чисел, а также такого нечеткого числа, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Рис. 3.21. Примеры нечетких чисел.

Рис. 3.22. Примеры нечетких чисел: положительного, отрицательного, а также такого, которое не является ни положительным, ни отрицательным.

Читатель, который ознакомился с содержанием п. 3.4, не будет иметь проблем при определении основных арифметических операций на нечетких числах. Эти операции будут заданы с помощью принципа расширения, который позволяет сформулировать определения суммирования, вычитания, умножения и деления двух нечетких чисел . Определение 3.21 - это следствие определения 3.18, в котором отображение (3.92) принимает вид

Определение 3.21

Основные арифметические операции на нечетких числах  определяются следующим образом:

а) суммирование двух нечетких чисел  и  обозначается

,                        (3.102)

причем функция принадлежности суммы (3.102) задается выражением (3.94) в виде

,               (3.103)

б) вычитание двух нечетких чисел  и  обозначается

,            (3.104)

причем функция принадлежности разности (3.104) задается выражением (3.94) в виде

,               (3.105)

в) умножение двух нечетких чисел  и  обозначается

,                        (3.106)

причем функция принадлежности произведения (3.106) задается выражением (3.94) в виде

,                (3.107)

г) деление двух нечетких чисел  и  обозначается

,             (3.108)

причем функция принадлежности частного (3.108) задается выражением (3.94) в виде

.                (3.109)

Поскольку с точки зрения приложений нас в первую очередь интересуют нечеткие числа, имеющие непрерывные функции принадлежности, то для иллюстрации приведенных определений рассмотрим дискретный случай (аналогично монографиям [15] и [35]).

Пример 3.18

Сложим и перемножим два нечетких числа, имеющих вид

,               (3.110)

.               (3.111)

В соответствии с формулой (3.103) получаем

    (3.112)

На основании выражения (3.107) получаем

       (3.113)

В приведенном примере мы сложили и перемножили два нечетких числа (3.110) и (3.111), получив в качестве суммы нечеткое множество (3.112), а в качестве произведения - нечеткое множество (3.113). Легко проверить, что нечеткие множества (3.112) и (3.113) являются нормальными и выпуклыми, и что они представляют собой нечеткие числа. Однако результатом арифметических операций над нечеткими числами не всегда оказывается нечеткое число. Например, в результате умножения нечетких чисел (3.95) и (3.96) получается нечеткое множество (3.98), которое не является нечетким числом, поскольку оно не отвечает условию выпуклости. Эта проблема устраняется тогда, когда операции выполняются над нечеткими числами, имеющими непрерывные функции принадлежности, что утверждается следующей теоремой:

Теорема 3.2 (Дюбуа и Прейда [9])

Если нечеткие числа  и  имеют непрерывные функции принадлежности, то результатом арифметических операций суммирования, вычитания, умножения и деления будут нечеткие числа.

Мы обсудили основные двухаргументные (бинарные) операции на нечетких множествах. Одноаргументные (унарные) операции определяются также с помощью принципа расширения. Если - отображение

                 (3.114)

и , , то в соответствии с формулой (3.90) получаем

,                     (3.115)

где .

Приведем теперь несколько примеров унарных операций на нечетких числах.

1. Операция изменения знака. В результате операции  получаем нечеткое число, противоположное нечеткому числу . Это число обозначается - , а его функция принадлежности равна

.               (3.116)

Нечеткие числа  и  симметричны относительно оси .

2. Операция обращения. В результате операции , , получаем нечеткое число, обратное нечеткому числу . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна

.             (3.117)

Предполагается, что нечеткое число  положительно или отрицательно. Если  таковым не является, то нечеткое множество  не выпукло и, следовательно,  не может считаться нечетким числом.

3. Операция масштабирования. В результате операции , , получаем нечеткое число, масштабированное относительно нечеткого числа . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна

.                        (3.118)

4. Операция экспонирования. В результате операции , , получаем степень нечеткого числа . Это число обозначается , а его функция принадлежности равна

                       (3.119)

поэтому  - положительное нечеткое число.

5. Операция расчета абсолютного значения. Абсолютное значение нечеткого числа  обозначается  и определяется как

                       (3.120)

Очевидно, что  - положительное нечеткое число.

Пример 3.19

Если

,                (3.121)

то нечеткое число  имеет вид

,                        (3.122)

тогда как нечеткое число  записывается в виде

.                      (3.123)

С использованием определения 3.21 легко проверить, что в приведенном примере

,                        (3.124)

а также

.                            (3.125)

По этой причине для нечетких систем характерно отсутствие нечетких чисел, противоположных или обратных относительно суммирования и умножения. Этот факт, в частности, делает невозможным применение метода исключения для решения уравнений, в которых присутствуют нечеткие числа.

Арифметические операции над нечеткими числами требуют проведения достаточно сложных вычислений. Поэтому Дюбуа и Прейд [8] предложили некоторую частную форму представления нечетких чисел при помощи трех параметров, что значительно упрощает нечеткую арифметику. Пусть  и  - функции, выполняющие отображение

                    (3.126)

и удовлетворяющие условиям:

1) , ,

2) , ,

3)  и  - функции, невозрастающие на интервале .

В качестве примеров функций  и  можно привести

, ,                        (3.127)

, ,                     (3.128)

, ,                   (3.129)

                   (3.130)

Приведем теперь определение нечеткого числа типа .

Определение 3.22

Нечеткое число  будет нечетким числом типа  тогда и только тогда, когда его функция принадлежности имеет вид

            (3.131)

где  - действительное число, называемое средним значением нечеткого числа ,  - положительное действительное число, называемое левосторонним разбросом,  - положительное действительное число, называемое правосторонним разбросом.

Заметим, что при увеличении разбросов  и  число  становится «более» нечетким. Нечеткое число типа  можно сокращенно записать в виде

.             (3.132)

Пример 3.20

Нечеткое число «примерно 9» можно определить как

.                       (3.133)

Функция принадлежности этого числа представлена на рис. 3.23, причем

.                       (3.134)

Арифметические операции над нечеткими числами типа  сводятся к операции над тремя параметрами. Нечеткое число, противоположное нечеткому числу (3.132), равно

.             (3.135)

Сумма нечетких чисел

 и

имеет вид

.               (3.136)

Другие арифметические операции (например, умножение и деление) над нечеткими числами типа  более сложны, а их результат имеет приближенный характер.

Функция принадлежности  нечеткого числа типа  принимает значение 1 только в точке . Модифицируем теперь определение 3.22 так, чтобы  не только в единственной точке , но и во всех точках на интервале , где  и .

Рис. 3.23. Иллюстрация к примеру 3.20.

В этом случае мы получаем определение так называемого плоского нечеткого числа. Это определение можно использовать для моделирования нечетких интервалов.

Определение 3.23

Плоским нечетким числом типа  называется нечеткое число с функцией принадлежности

              (3.137)

Плоское нечеткое число  можно отождествить с нечетким интервалом  вида

.                        (3.138)

Пример 3.21

Рассмотрим неточное утверждение «стоимость велосипеда в этом магазине составляет от 3 до 6 тысяч рублей». Адекватной формализацией этого утверждения может считаться нечеткий интервал  вида

.                             (3.139)

На рис. 3.24 представлен примерный график функции принадлежности нечеткого интервала (3.139).

Рис. 3.24. Иллюстрация к примеру 3.21: нечеткий интервал «от 3 до 6 тысяч рублей».