3.7. Нечеткие отношения и их свойства

Одним из основных понятий теории нечетких множеств считается понятие нечеткого отношения. Эти отношения позволяют формализовать неточные утверждения типа « почти равно » или « значительно больше чем ». Приведем определение нечеткого отношения и комбинации нечетких отношений.

Определение 3.26

Нечеткое отношение между двумя непустыми множествами (четкими) и будем называть нечеткое множество, определенное на декартовом произведении , т.е.

. (3.157)

Другими словами, нечеткое отношение - множество пар

, (3.158)

где

(3.159)

- это функция принадлежности, которая каждой паре приписывает ее степень принадлежности , которая интерпретируется как сила связи между элементами и . В соответствии с принятым соглашением (п. 3.2) нечеткое отношение можно представить в виде

(3.160)

или

. (3.161)

Пример 3.22

Применим определение 3.26 для формализации неточного утверждения « примерно равно ». Пусть и . Отношение можно определить следующим образом:

. (3.162)

Следовательно, функция принадлежности отношения имеет вид

(3.163)

Отношение можно также задать в виде матрицы

, (3.164)

где , , , а , , .

Пример 3.23

Пусть - это длительность жизни человека. В этом случае отношение с функцией принадлежности

(3.165)

представляет неточное утверждение «особа намного старше особы ».

Следует подчеркнуть, что нечеткое отношение - это нечеткое множество, поэтому сохраняют силу введенные в п. 3.3 определения операций пересечения, суммирования и дополнения:

, (3.166)

, (3.167)

. (3.168)

В теории нечетких множеств важную роль играет понятие комбинации двух нечетких отношений. Рассмотрим три четких множества , , и два нечетких отношения и c функциями принадлежности и .

Определение 3.27

Комбинацией типа нечетких отношений и называется нечеткое отношение с функцией принадлежности

. (3.169)

Конкретная форма функции принадлежности комбинации зависит от -нормы, используемой в формуле (3.169). Если в качестве -нормы применяется , т.е. , то равенство (3.169) можно представить в виде

. (3.170)

Формула (3.170) известна в литературе под названием «комбинация типа sup-min». Если множество имеет конечное количество элементов, то комбинация типа sup-min сводится к комбинации типа max-min в форме

. (3.171)

Пример 3.24

Допустим, что отношения и представлены матрицами

, , (3.172)

причем , , . Комбинация типа max-min отношений и имеет вид

, (3.173)

где

Поэтому

. (3.174)

В таблице 3.2 собраны важнейшие свойства нечетких отношений, причем означает единичную матрицу, а - нулевую матрицу.

Таблица 3.2. Важнейшие свойства нечетких отношений

1
2
3
4
5
6
7
8

Как отмечалось в начале п. 3.6, для практических приложений особенно важна комбинация нечеткого множества с нечетким отношением. Комбинация этого типа будет многократно использоваться в последующем изложении. Рассмотрим нечеткое множество и нечеткое отношение с функциями принадлежности и .