1.5.3. ОПИСАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ

Классические геометрические преобразования (сдвиги, повороты) описываются с помощью математических моделей, основанных на использовании матриц размера . При классическом подходе каждое из преобразований представляется отдельной матрицей. Для машинной графики это приводит во многих случаях к увеличению объема вычислений. Возникает необходимость в использовании математического аппарата, обеспечивающего более компактное описание геометрических преобразований. Наибольшее распространение для задач машинной графики получил метод однородных координат. В основе этого метода лежит представление о том, что каждая точка в -мерном пространстве может рассматриваться как проекция точки из -мерного пространства. В частности, точка в трехмерном пространстве представляется четырьмя составляющими , где  может принимать любое значение. На практике в основном используется , что соответствует нормализованным координатам .

Свойства однородных координат позволяют выражать с помощью единой матрицы все преобразования: сдвиги, повороты и даже проекции (аксонометрические или центральные), а также любые сочетания преобразований в виде произведения матриц. Использование однородных координат позволяет применять единый математический аппарат для пространственных преобразований (поворотов, масштабирования, переноса) точек, прямых, квадратичных и бикубических поверхностей и линий.

Для трехмерной машинной графики все преобразования могут быть описаны матрицей  следующего вида:

Основные преобразования выражаются с помощью матрицы  следующим образом:

поворот на угол  вокруг оси

;

поворот на угол  вокруг оси

;

поворот на угол  вокруг оси

;

сдвиг на вектор

;

геометрическое преобразование

.

Совокупность операций по преобразованию координат предмета описывается произведением матриц, которое затем приводится к единой матрице для всех элементов и точек предмета.

Предположим, что задано осуществить повороты предмета на угол  вокруг оси, параллельной оси ; и на угол  вокруг оси , проходящих через точку с координатами . Эта операция будет описываться произведением четырех матриц: матрицы , описывающей сдвиг для совмещения точки  с началом координат; двух матриц  и , описывающих повороты вокруг соответствующих осей; матрицы , описывающей сдвиг для возвращения точки  в первоначальное положение.

Результирующая матрица  имеет вид .