3.4.2. Циклическая свертка

Достоинством обычного преобразования Фурье является то, что с его помощью очень просто выполняется стационарная фильтрация сигналов. Как известно, для этого требуется получить частотный спектр сигнала и частотный коэффициент передачи фильтра. Затем, перемножив их, определить частотный спектр выходного сигнала, а выполнив обратное преобразование Фурье - найти сам выходной сигнал. Возможно ли применение такой технологии для выполнения двумерной цифровой фильтрации? Убедимся, что возможно, но с некоторыми оговорками.

Двумерный стационарный (инвариантный к сдвигу) фильтр характеризуют двумерной импульсной характеристикой , позволяющей определить выходной сигнал при помощи двумерной свертки:

. (3.26)

Это уравнение обычной свертки, в нем фигурируют обычные, непериодические сигналы и непериодическая ИХ фильтра. При цифровой обработке в ЭВМ не существует частотных спектров, соответствующих таким сигналам и ИХ. Для описания сигнала в частотной области привлекается, как установлено выше, периодически продолженный сигнал , которому соответствует дискретный спектр . По аналогии с (3.21) вводится и периодически продолженная ИХ:

двумерное ДПФ которой имеет смысл частотного коэффициента передачи цифрового фильтра. Покажем, что перемножая и , мы находим спектр сигнала, определяемого циклической сверткой. Циклическая свертка отличается от обычной свертки (3.26) тем, что вместо функций и в ней представлены периодически продолженные функции и . Нетрудно установить, что при этом сигнал на выходе

. (3.27)

также является периодическим. Покажем, что именно его спектр определяется выражением:

. (3.28)

Умножим для этого левую и правую части (3.27) на и просуммируем по и в пределах области . В левой части в результате имеем спектр . Преобразуем правую часть, предварительно умножив ее на величину , тождественно равную единице:

Выполняя затем во внутренней сумме замену переменных , , учитывая, что при суммировании периодической функции в пределах периода границы суммирования могут быть синхронно сдвинуты на любую величину и оставляя их в этой связи неизменными, приходим к (3.28).

Таким образом установлено, что именно циклической свертке (3.27) соответствует удобный при практической реализации частотный метод определения выходного сигнала. Необходимо иметь в виду, что та фильтрация, к осуществлению которой обычно стремятся при решении конкретных задач, описывается обычной сверткой (3.26), а не циклической (3.27). Поэтому остается выяснить, в каком соотношении находятся эти две вычислительные процедуры. Не нарушая общности, для большей простоты и наглядности рассмотрим этот вопрос на примере одномерной фильтрации. Сигнал на выходе одномерного фильтра определяется сверткой

, (3.29)

(3.30)

в обычном и циклическом вариантах соответственно. Рис. 3.5 поясняет процесс вычисления выходного сигнала в обоих случаях. На рис. 3.5.а показана импульсная характеристика произвольного вида, соответствующая некаузальному фильтру (т.к. при ). Рис. 3.5.б иллюстрирует образование суммы, вычисляемой при помощи обычной свертки (3.29), а рис. 3.5.в при помощи циклической (3.30). На рисунках штриховкой показаны области суммирования, выполняемого в соответствии с выражениями (3.29) и (3.30). Рисунки отражают определение реакции фильтра в точке , расположенной вблизи границы рабочей области. В случае циклической свертки область суммирования является двухсвязной из-за периодичности ИХ, что приводит к различию результатов фильтрации. Очевидно, что эффекты, вызванные периодичностью, отсутствуют для точек, удаленных от границ.


а)	б)	в)
Рис. 3.5. Сравнение обычной и циклической свертки

Поэтому для внутренних точек области , удаленность которых от границ превышает длину импульсной характеристики, результаты обычной и циклической сверток совпадают. Различия наблюдаются лишь для точек, примыкающих к границе. Если размеры этой приграничной области относительно невелики, то часто различиями пренебрегают. В тех случаях, когда граничные эффекты недопустимы, проблема может быть разрешена при помощи искусственного удлинения области добавлением к ней на обоих концах такого количества нулевых элементов, при котором эффект цикличности проявляться не будет.

В заключение отметим, что характер различий обычной и циклической сверток при фильтрации двумерных цифровых сигналов остается таким же, как для одномерных сигналов. Аналогичны и меры, исключающие нежелательные эффекты циклической свертки.