3.5.1. Сущность байесовской фильтрации

Полагаем, что на входе фильтра действует сигнал

,            (3.37)

где  и  - полезный сигнал и помеха, а - функция, описывающая их взаимодействие. При байесовском методе считается, что сигнал и помеха - случайные процессы (случайные двумерные поля) с известными законами распределения вероятностей. Пусть  - вектор, элементы которого - все     отсчетов, образующих кадр изображения, а  - их совместное распределение. Примем для простоты, что помеха и сигнал независимы, а распределение вектора помехи   равно . Воспользовавшись формулой Байеса, запишем апостериорное распределение вероятностей (АРВ) :

,                   (3.38)

куда входит распределение  наблюдаемых данных и условное распределение  - называемое функцией правдоподобия. Смысл выражения (3.38) заключается в том, что оно дает возможность вычислить в устройстве обработки распределение вероятностей полезного сигнала, располагая входными данными   и опираясь на вероятностную модель как самого полезного сигнала, так и наблюдаемых данных. АРВ является аккумулятором всех доступных сведений о полезном сигнале, которые содержатся в , а (3.38) указывает способ извлечения этих сведений.

Поскольку потребителя информации обычно интересует точечное значение сигнала , то для его образования прибегают к вычислению либо математического ожидания АРВ, либо его координаты, обращающей это распределение в максимум. В математической статистике доказано, что эти способы получения результатов фильтрации соответствуют различным содержательным требованиям, предъявляемым к получаемым результатам [3.3].

Оперировать векторными величинами, входящими в (3.38), практически невозможно из-за громадной размерности векторов   и . Если, например, обрабатываемый кадр имеет размеры  , то размерность этих векторов равна . Предположим, что изображение является простейшим с бинарными значениями элементов   и . Общее число всевозможных изображений, имеющих всего две градации яркости, составляет . Задачей байесовского фильтра является вычисление распределения вероятностей, которое можно представить себе в данном случае в виде таблицы с размером, превышающим . Явная нереальность этой задачи заставляет искать такие методы описания сигналов, которые приводили бы к резкому, качественному ее упрощению. В данном направлении предпринимаются усилия, разрабатываются различные подходы [3.4-3.6], но, к сожалению, универсальных эффективных методов двумерной байесовской обработки изображений, основанных на использовании всех данных , в настоящее время не найдено.

Отмеченная сложность байесовских процедур свойственна и фильтрации одномерных сигналов. Вместе с тем, в области одномерной фильтрации были получены блестящие решения проблемы, основанные на использовании марковских моделей сигналов и помех. В указанных работах [3.4-3.6] предпринимались разнообразные попытки распространить идеи марковской фильтрации на двумерные сигналы. Прежде чем остановиться на одном из методов, развитых в работах [3.6,3.8], рассмотрим кратко одномерную марковскую фильтрацию дискретных сигналов, поскольку она составляет основу двумерных процедур.