5.1.1. Точки и прямые линии на плоскости - двойственность описаний

Прямая линия на плоскости, как известно из аналитической геометрии, состоит из всех точек, удовлетворяющих уравнению

.

Пусть две точки имеют координаты  и  соответственно. Каково уравнение линии, соединяющей их? Ясно, что поскольку линия проходит через эти точки, то она должна удовлетворять двум уравнениям

,

.

Данную систему из двух уравнений можно легко разрешить относительно неизвестных значений  и  и получить соответствующие выражения

.

С другой стороны, предположим, что имеются две линии, и нужно найти их точку пересечения . Но две прямые должны соответствовать уравнениям

,

.

Отсюда для координат точки пересечения  получаем соотношения, аналогичные вышеприведенным соотношениям для параметров линии :

.

Здесь просматривается очень важная симметрия или двойственность между проблемами пересечения двух прямых и (с другой стороны) линии, проходящей через две заданные точки. Координаты (параметры) пары линий и координаты пары точек в обоих случаях входят в формулы одинаковым образом. Далее мы увидим, что отмеченная двойственность распространяется и на другие соотношения между геометрическими объектами.

Имеется ряд проблем, связанных со специальными соотношениями выделенных пар точек и прямых. Предположим, что координаты двух точек отличаются лишь скалярным множителем: . Это означает, что  и параметры прямой, соединяющей выделенные точки, определить невозможно. Прямая линия в данном случае проходит через начало координат (0,0), что собственно и создает проблему. Здесь нельзя непосредственно использовать уравнение прямой линии  (проходящей через начало координат). Аналогичная проблема возникнет, когда  мы попытаемся (формально, из приведенных выше уравнений) найти точку пересечения двух параллельных прямых, когда .