8.1. Градиентные методы подчеркивания контуров

Смысл операции подчеркивания контуров состоит в том, чтобы усилить резкие перепады яркости, сформировав в соответствующих точках кадра импульсные отклики на фоне сравнительно слабых флюктуации в других областях картины, не содержащих крутых яркостных перепадов. По своему характеру все операторы подчеркивания контуров являются различными модификациями дифференцирования двумерного поля по различным направлениям области определения. Как известно, при дифференцировании, в самом деле, в окрестности перепада функции яркости образуется пик, способствующий регистрации этой области. Однако также хорошо известно, что при дифференцировании сигналов с помехами происходит существенное усиление последних, что снижает отношение сигнал/шум и негативно отражается на получаемых результатах. Поэтому есть значительное число операторов, представляющих различные варианты дифференцирования с накоплением, применяемым для ослабления отрицательных последствий дифференцирования.

Обычно оператор подчеркивания контуров представляют в форме масочного линейного фильтра. В процессе обработки маска, которая является просто матрицей коэффициентов, скользит по полю изображения, занимая поочередно все возможные положения. В каждом положении маска играет роль окна, при помощи которого отбираются отсчеты обрабатываемого изображения и выполняется их поэлементное умножение на соответствующий элемент маски с последующим суммированием всех произведений. Полученное число рассматривается как отсчет выходного изображения в точке, соответствующей центру симметрии окна.

Приведем часто используемые варианты масочных операторов подчеркивания. Простейшие операторы дифференцирования вдоль строки, столбца и двух диагональных направлений соответственно описываются матрицами:

                               (8.1)

Видно, что вычисление производной заменяется взятием разности элементов. Так, например, первый из приведенных операторов вычисляет разность вида , что является аппроксимацией производной изображения  пo строке. Аналогично работают и остальные операторы, представленные в (8.1). Отметим, что два последних из них, работающих вдоль диагональных направлений, называются оператором Робертса.

Всем операторам в (8.1) свойственно два существенных недостатка. Первый - отсутствие накопления, что делает их, как уже говорилось, весьма чувствительными к шуму, содержащемуся в изображении . Второй состоит в том, что вычисляемые разности центрированы относительно средних точек между узлами. Так, например, первый оператор вычисляет производную в точке . Таким образом, получаемое в результате изображение оказывается смещенным на половину шага относительно исходного, что может создать нежелательные проблемы при последующей обработке.

В приводимых ниже операторах чувствительность к шуму ослабляется благодаря увеличению размеров матриц, а смещениеустраняется за счет использования масок с нечетным размеромсторон. При этом обычно вычисляемый результат соответствуетцентральной точке окна. Наиболее часто применяют операторы Превитт I и II, матрицы которых имеют вид соответственно:

 и                             (8.2)

и Собеля:

                                                         (8.3)

Приведенные здесь операторы вычисляют сглаженные производные вдоль столбцов изображения. В самом деле, в точке с координатами , применяя, например, оператор Превитт-І, имеем

   (8.4)

где через  обозначена производная вдоль вертикального направления. Согласно (8.4) получаемый результат представляет собой сумму трех разностей, взятых вдоль соседних столбцов изображения.

Поворотом весовых коэффициентов этих операторов на 90º можно получить операторы, вычисляющие сглаженную производную изображения в горизонтальном направлении. Если же выполнить поворот весовых коэффициентов в матрицах (8.2), (8.3) на +45º или -45º , то получим операторы, вычисляющие сглаженные производные  или вдоль двух диагональных направлений.

Известны различные способы дальнейшего использования производных, вычисленных при помощи масочных операторов, однако все они могут быть отнесены к градиентным методам. Градиент  двумерной функции  представляет собой, как известно, векторную двумерную функцию, определяющую направление и скорость максимального изменения функции .Чаще пользуются второй из этих характеристик, определяемой модулем градиента:

          (8.5)

При практическом нахождении производных, входящих в (8.5), применяют те или иные варианты их вычисления с помощью масочных операторов. Вычисление угла, указывающего направление максимального изменения функции яркости, выполняется на основе выражения:

                  (8.6)

При практической реализации (8.6) также прибегают к использованию масочных операторов.

Более грубыми, но все чаще применяемыми в практических задачах являются модификации градиентного метода, основанные на выборе максимальной из производных по различным направлениям и ее использовании вкачестве градиента. Пусть

— производная функции яркости в направлении . Предположим, что используется  различных направлений. Тогда в качестве оценки градиента можно использовать ту из производных, модуль которой имеет максимальное значение:

Естественно, оценка угла  в этом случае определяется ориентацией соответствующей маски.

Кроме приведенных масочных операторов для вычисления сглаженных производных применяется и ряд других. Представляет интерес определить общие требования к этим операторам. Для этого представим матрицу масочного оператора дифференцирования со сглаживанием в общем виде:

                                                             (8.7)

Следуя [8.1], приведем некоторые из этих требований.

1. Матрицы масочных операторов, соответствующих горизонтальному и вертикальному направлениям, должны быть эквивалентны друг другу, отличаясь лишь поворотом своих элементов на 90°. Это свойство, в частности, дает возможность обсуждать все остальные свойства только для одного из направлений перепадов яркости, например, горизонтального, для подчеркивания которого требуется выполнять дифференцирование вдоль столбцов изображения.

2. Элементы матрицы должны быть симметричны относительновертикальной оси матрицы

                                                    (8.8)

поскольку соответствующие им элементы изображения равноценны.

3. Элементы, расположенные симметрично относительногоризонтальной оси, должны иметь противоположные знаки:

                                            (8.9)

Этим условием гарантируется одинаковость абсолютной величины реакции масочного оператора на данный перепад и на перепад, получаемый изданного его зеркальным отражением относительно горизонтальной оси симметрии маски.

4. Производная постоянного сигнала должна равняться нулю.Из этого следует условие:

     (8.10)

откуда с учетом (8.9) имеем:

                                                (8.11)

Объединяя свойства (8.8)...(8.11), приводим матрицу (8.7) к виду:

                                                          (8.12)

Запишем выражение для реакции матричного оператора (8.12) на входное изображение, представив для наглядности его фрагмент в произвольно выбранном окне также в виде матрицы:

Имеем:

         (8.13)

В данном выражении три первых слагаемых имеют смысл конечных разностей, взятых в вертикальном направлении, что соответствует вычислению производной вдоль столбцов изображения. Двум же последним слагаемым придать такой смысл не удается, поэтому представляется естественным принять  равным нулю. В результате матрица (8.12) приобретает вид:

                                                          (8.14)

Сопоставляя приведенные выше матрицы операторов Превитта I и ІІ и Собеля с полученным каноническим представлением (8.14), отмечаем, что матрица  оператора Превитт-ІІ не удовлетворяет последнему требованию. Следует отметить, что известны и другие применяемые на практике матричные операторы, содержащие те или иные отклонения от канонической формы,

Многообразие масочных операторов ставит вопрос о сравнении их характеристик и о выборе лучшего в том или ином смысле оператора. Для большинства известных в настоящее время операторов сопоставительный анализ выполняли различные авторы, а результаты этого анализа обсуждаются в [8.1], Приведем основные выводы, содержащиеся в этой обзорной работе.

Для сравнения масочных операторов используется несколько показателей качества. Одним из основных является чувствительность оператора к ориентации яркостного перепада в кадре, оцениваемая величиной

                        (8.15)

Здесь  - значение градиента, вычисленное по формуле (8.5) при условии, что яркостный перепад проходит точно через центр симметрии маски и характеризуется наклоном  к горизонтальному направлению. Таким образом, в соответствии с (8.15) функция описывает изменение величины измеренного градиента от ориентации яркостного перепада, причем . Как показывают результаты анализа, оператор Превитт-І обеспечивает очень высокую устойчивость обработки по отношению к ориентации идеального перепада яркости. При изменении угла  от 0 до ±45º отклонение  от 1 не превышает ±(0.04÷0.05). Несколько больше диапазон изменений  у оператора Собеля, у которого значения этой функции находятся в интервале [1...1.12]. Значительно хуже обстоит дело у оператора Робертса, поскольку при его применении при увеличении  от 0º до 45º значение  монотонно уменьшается от 1 до 0.4...0.45.

Второй характеристикой, также применяемой для оценки эффективности операторов, является чувствительность измеренного градиента к величине смещения  линии яркостного перепада относительно центра симметрии маски. Соответствующий показатель определяется выражением

                          (8.16)

смысл которого аналогичен (8.15). Результаты исследования этого показателя свидетельствуют о том, что с ростом  происходит быстрое уменьшение функции  при всех видах операторов, описанных выше, причем практически отсутствует зависимость от ориентации перепада. При значениях  (единицей измерения  является шаг, определяющий расстояние между отсчетами изображения) . Быстрое уменьшение , происходящее при увеличении , является положительной чертой масочных операторов, поскольку этим обеспечивается их высокая разрешающая способность.

Третьей характеристикой, применяемой для сравнения масочных операторов, является уровень выходных шумов. Предположим, что входное изображение содержит аддитивный белый шум с дисперсией , одинаковой во всех точках кадра. Легко найти дисперсию выходного шума , если учесть, что откликмасочного оператора представляет взвешенную сумму входных отсчетов, в которой вроли весовых коэффициентов выступают элементы  матрицы . В результате имеем:

                                                        (8.17)

Помехоустойчивость масочного оператора определяют отношением сигнал/шум, получаемым на его выходе, поэтому дополнительно необходимо вычислить величину полезного эффекта. Для этого следует задаться моделью входного яркостного перепада. Полагая его ориентацию горизонтальной, считаем, что сигнальная матрица (без учета шума), получаемая в рабочем окне, имеет вид:

При этом отношение "яркостный перепад/шум" для входного изображения характеризуется величиной .

Полезный сигнал на выходе можно записать:

а отношение сигнал/шум после обработки

Результат применения этой формулы к различным операторам представлен в следующей таблице.

Значения  для различных операторов

Превитт-1      Превитт-2      Собель

              

Из таблицы видно, что максимальное отношение сигнал/шум обеспечивается оператором Превитт-1, наименьшую же его величину имеет оператор Превитт-2, оператор Собеля несколько уступает оператору Превитт-1. Причиной заметного проигрыша оператора Превитт-2 является упоминавшееся выше отклонение его матрицы  (8.2) от канонического вида (8.14). Отличие от нуля элементов второй строки этой матрицы приводит, согласно (8.17), лишь к увеличению выходного шума, не внося при этом вклада, как видно из (8.13), в полезный выходной эффект.

Из таблицы также следует, что применение рационально построенных матриц подчеркивания контуров, в которых закладывается идеядифференцирования с накоплением, не только не уменьшает выходного отношения сигнал/шум, что свойственнопростым операторам, не использующим накопления, но даже, наоборот, приводит к ею увеличению по сравнению с входным.

Таким образом, приведенные результаты говорят о высоком качестве операторов Превитт-1 и Собеля. Это, однако, нельзя рассматривать как окончательное решение проблемы подчеркивания контуров, а можно лишь как результат сравнительной оценки некоторых из известных процедур.

Получаемое на основе градиентной обработки (8.5) изображение  обычно, как говорилось во введении, используют для образования контурного препарата - бинарного изображения, у которого контурные точки принимают значение 1 (уровень черного), а остальные — 0 (уровень белого) или наоборот. Бинаризацию выполняют путем сравнения значений  с порогом  по правилу:

а порог можно выбирать автоматически на основе гистограммного анализа препарата , например, путем построения дискриминантной функции, применяемой при сегментации.

На рис. 8.1 приведены результаты эксперимента по градиентному подчеркиванию контуров и построению на этой основе контурного препарата.Исходное изображение, имеющее размер 256×256 элементов, показано на рис. 8.1, а. Его функция яркости, соответствующая 220-й строке, приведена на рис. 8.1, б, а та же строка после обработки изображения оператором Превитт-1 для подчеркивания вертикальных перепадов - на рис, 8.1, в. Эта же строка после вычисления градиента показана на рис, 8.1, г. Рис. 8.1, диллюстрирует вид поля градиентной функции , а рис. 8.1, е – вид контурного препарата, полученного при бинаризации градиента. Приведенные здесь результаты соответствуют оператору Превитт-1. Отметим в заключение, что визуальное отличие результатов обработки при применении оператора Собеля от приведенных несущественно.