§ 11. Приводимые аналитические системы

В качестве приложения теоремы предыдущего параграфа выясним, в каких случаях система

,                                                     (145)

где

                                                    (146)

- сходящийся ряд при  является приводимой (по Ляпунову), т. е. в каких случаях существует решение системы вида

                                                      (147)

где  - матрица Ляпунова (т. е.  удовлетворяет условиям 1°—3° на стр. 422), а  - постоянная матрица. Здесь ,  - матрицы с комплексными элементами, а  - вещественный аргумент.

Сделаем преобразование

.

Тогда система (145) перепишется в виде

                                                              (148)

где

       (149)

Ряд, стоящий в правой части выражения для , сходится при . Могут представиться два случая:

1) . В этом случае точка  не является особой для системы (148). Эта система имеет решение, регулярное и нормированное в точке . Это решение задается сходящимся степенным рядом

  

Полагая

, ,

получим искомое представление (147). Система приводима.

2) . В этом случае система (148) имеет регулярную особую точку в точке .

Не нарушая общности рассуждений, можно считать матрицу вычетов  приведенной к жордановой форме, в которой диагональные элементы  расположены в порядке .

Тогда в формуле (144) , и потому система (148) имеет решение

где функция  регулярна при  и принимает в этой точке значение , а   - многочлены от . Заменяя здесь  на , будем иметь:

     (150)

Так как преобразование  является преобразованием Ляпунова, то система (145) будет приводимой к некоторой системе с постоянными коэффициентами в том и только в том случае, когда произведение

           (151)

где  - некоторая постоянная матрица будет матрицей Ляпунова, т. е. когда матрицы ,  и  будут ограничены. При этом, как следует из теоремы Еругина (§ 4), матрицу  можно считать матрицей с вещественными характеристическими числами.

Из ограниченности матриц  и  при  вытекает, что все характеристические числа матрицы  должны равняться нулю. Это следует из выражения для  и , получаемого из (151). Кроме того, все числа  должны быть чисто мнимыми, поскольку согласно (151) из ограниченности элементов последней строки в  и первого столбца в  вытекает, что  и .

Но если все характеристические числа матрицы  чисто мнимы, то разность между любыми двумя различными характеристическими числами матрицы  не равна целому числу. Поэтому имеет место формула (139):

и для приводимости системы необходимо и достаточно, чтобы матрица

                                                   (152)

вместе со своей обратной была бы ограничена при .

Поскольку все характеристические числа матрицы  должны равняться нулю, то минимальный многочлен для матрицы  имеет вид . Обозначим через

 

минимальный многочлен матрицы . Поскольку , то числа  отличаются знаком от соответствующих чисел  и потому все они — чисто мнимые числа. Тогда [см. формулы (12), (13) на стр. 421]

    (153)

                                 (154)

Подставляя эти выражения в равенство

получим:

             (155)

где  -наибольшее из чисел  обозначает матрицу, стремящуюся к нулю при , а  - ограниченная матрица при .

Так как матрицы, стоящие в левой и правой частях равенства (155), должны иметь одинаковый порядок роста при , то

,

т.е.

,

и матрица  имеет простые элементарные делители.

Обратно, если матрица  имеет простые элементарные делители и чисто мнимые характеристические числа , то

есть решение системы (149). Полагая здесь , найдем:

Функция  вместе с  и обратной матрицей  ограничена при . Поэтому система приводима . Нами доказана

Теорема 3. Система

где матрица  представима сходящимися при  рядом

является приводимой в том и только в том случае, если у матрицы вычетов  все элементарные делители простые и все характеристические числа чисто мнимы.