§ 3. Другие формы определения f(A). Компоненты матрицы A

Вернемся к формуле (14) для . Подставляя в нее выражения (12) для коэффициентов и объединяя члены, содержащие одно и то же значение функции или какой-либо ее производной, мы представим в виде

. (15)

Здесь – легко вычисляемые многочлены от степени . Эти многочлены вполне определяются заданием и не зависят от выбора функции . Число этих многочленов равно числу значений функции на спектре матрицы , т. е. равно [ – степень минимального многочлена ]. Функция представляет собой интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции, у которой все значения на спектре матрицы равны нулю, за исключением одного , равного 1.

Из формулы (15) следует основная формула для :

, (16)

где

. (17)

Матрицы вполне определяются заданием матрицы и не зависят от выбора функции . В правой части формулы (16) функция представлена только своими значениями на спектре матрицы .

Матрицы будем называть составляющими матрицами или компонентами данной матрицы .

Компоненты матрицы всегда линейно независимы.

Действительно, пусть

. (18)

Определим интерполяционный многочлен из условий

. (19)

Тогда, согласно формуле (15),

. (20)

Из сопоставления формул (18) и (19) находим

. (21)

Но степень интерполяционного многочлена , задаваемого формулой (20), меньше , т. е. меньше степени минимального многочлена . Поэтому из равенства (21) следует тождество

Но тогда согласно (19)

что и требовалось доказать.

Из линейной независимости составляющих матриц следует, между прочим, что ни одна из этих матриц не равна нулю. Заметим еще, что любые две из компонент перестановочны между собой и с матрицей , поскольку все они суть скалярные многочлены от .

Формулой (16) для особенно удобно пользоваться тогда, когда приходится иметь дело с несколькими функциями от одной и той же матрицы , либо когда функция зависит не только от , но и от некоторого параметра . В последнем случае в правой части формулы (16) компоненты не зависят от и параметр входит только в скалярные коэффициенты при этих матрицах.

В примере на стр.109, где , мы можем представить в виде

где

Поэтому,

где

Если дана матрица , то для конкретного нахождения компонент этой матрицы можно в основной формуле (16) положить , где – некоторый параметр. Тогда получим:

, (22)

где – приведенная присоединенная матрица для (гл. IV, §6).

Матрицы являются числителями простейших дробей в разложении (22), и потому по аналогии с разложением (9) эти числители могут быть выражены через значения на спектре матрицы по формулам, подобным (11):

, , ….

Отсюда

. (23)

Подставляя в (16) вместо составляющих матриц их выражения (22), мы можем основную формулу (16) представить в виде

. (24)

Пример 1.

, .

В данном случае . Поскольку минор элемента в равен 1, то , и потому,

Основная формула в данном случае имеет вид

. (25)

Полагая здесь , находим:

откуда

, , .

Пользуясь приведенным выше выражением для , вычисляем и подставляем полученные результаты в (25):

Пример 2. Покажем, как можно определить , исходя только из основной формулы. Пусть снова

, .

Тогда

. (25')

Подставим в формулу (25') вместо последовательно :

Вычитая из первых двух равенств почленно третье, определим все . Подставляя в (25'), получим выражение для .

Разобранные примеры иллюстрировали три способа практического нахождения . В первом способе мы находили интерполяционный многочлен и полагали . Во втором способе мы, пользуясь разложением (22), выражали компоненты в формуле (16) через значения приведенной присоединенной матрицы на спектре матрицы . В третьем способе мы исходили из основной формулы (16) и подставляли в нее вместо последовательно некоторые простейшие многочлены; из полученных линейных уравнений определяли составляющие матрицы .

Третий способ является, пожалуй, практически наиболее удобным. В общем виде его можно сформулировать так:

В формулу (16) вместо подставляем последовательно некоторые многочлены :

. (26)

Из уравнений (26) определяем матриц и подставляем полученные выражения в (16).

Результат исключения из -гo равенства (26) и (16) может быть записан в виде

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, мы получим искомое выражение для . Здесь при в качестве множителя будет стоять определитель (в -й строке определителя стоят значения многочлена на спектре матрицы ; ). Для того чтобы можно было определить , нужно, чтобы . Это будет иметь место, если никакая линейная комбинация многочленов не обращается сплошь в нуль на спектре матрицы , т. е. не делится на .