§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы

Во многих вопросах теории матриц и их приложений достаточно знать только нормальную форму, к которой приводится данная матрица  преобразованием подобия. Нормальная форма вполне определяется инвариантными многочленами характеристической матрицы . Для нахождения последних можно воспользоваться определяющими формулами [см. (10) на стр. 143] или приведением характеристической матрицы  при помощи элементарных преобразований к канонической диагональной форме.

В некоторых же вопросах необходимо знать не только нормальную форму  данной матрицы , но и преобразующую неособенную матрицу .

Непосредственный способ определения матрицы  состоит в следующем.

Равенство

переписывается так:

.

Это матричное уравнение относительно  равносильно системе  линейных однородных уравнений относительно  неизвестных коэффициентов матрицы . Определение преобразующей матрицы сводится к решению этой системы из  уравнений. При этом из множества решений необходимо выбрать такое решение, для которого . Существование такого решения обеспечено тем, что матрицы  и  имеют одни и те же инвариантные многочлены.

Заметим, что в то время как нормальная форма определяется однозначно заданием данной матрицы , для преобразующей матрицы  мы всегда имеем бесчисленное множество значений, охватываемых формулой

,                     (60)

где  – одна из преобразующих матриц, a  – произвольная матрица, перестановочная с .

Предложенный выше способ определения преобразующей матрицы  очень прост по своей идее, но практически мало пригоден, так как связан с очень большими вычислениями (так, уже при  он требует решения системы из 16 линейных уравнений).

Переходим к изложению более эффективного метода построения преобразующей матрицы . Этот метод опирается на добавление к теореме 7 (стр. 150). Согласно этому добавлению в качестве преобразующей матрицы можно взять матрицу

,                 (61)

коль скоро

.

Последнее равенство выражает собой эквивалентность характеристических матриц  и . Здесь  и  – многочленные матрицы с постоянными отличными от нуля определителями.

Для конкретного нахождения матрицы  мы приводим к канонической диагональной форме каждую из -матриц  и  при помощи соответствующих элементарных преобразований:

,              (62)

,             (63)

где

, ,                   (64)

а ,  – элементарные матрицы, соответствующие элементарным операциям над столбцами -матриц  и . Из (62), (63) и (64) следует:

,

где

.               (65)

Матрицу  вычисляем, применив последовательно к столбцам единичной матрицы  элементарные операции с матрицами . После этого [согласно формуле (61)] заменяем в  аргумент  матрицей .

Пример.

.

Введем символические обозначения для левых и правых элементарных операций и соответствующих матриц (см. стр. 136–137):

Читатель легко проверит, что характеристическая матрица

приводится к каноническому диагональному виду

с помощью следующих последовательно выполненных элементарных операций:

                   (*)

Из канонического диагонального вида матрицы  усматриваем, что матрица  имеет только один элементарный делитель . Поэтому соответствующей жордановой формой будет матрица

.

Нетрудно видеть, что характеристическая матрица  приводится к тому же каноническому диагональному виду с помощью элементарных операций

              (**)

Выбрасывая из (*) и (**) левые элементарные операции, обозначенные символом {...}, мы в соответствии с формулами (64), (65) получим

Применим к единичной матрице последовательно эти правые элементарные операции:

.

Таким образом,

.

Замечая, что

,

находим

.

Проверка.

.

Следовательно,  , т. е. .