2.2.1. Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения

Задачи моделирования случайных процессов, имеющих место в системах передачи и обработки сигналов, часто приводят к необходимости получения СВ с негауссовским законом распределения. Наиболее эффективным аналитическим методом получения негауссовских СВ является метод монотонного нелинейного преобразования (метод обратных функций) [4].

Найдем закон распределения величины  полученной нелинейным преобразованием  непрерывной СВ   (рис. 2.1). Будем считать, что существует взаимно однозначное преобразование . Обратное преобразование обозначим .

 

Из рис. 2.1 видно, что всегда, когда СВ  попадает в интервал ,  СВ  попадает в интервал . Поэтому выполняется равенство

,

откуда следует, что  и при  получаем соотношение

.                                                             (2.1)

Рассмотрим типичный пример получения СВ с заданным законом распределения из СВ с равномерным распределением. Пусть задана СВ  с равномерным законом распределения   , необходимо получить случайное число  с заданным законом распределения , которому соответствует некоторое нелинейное преобразование, например, . Далее по формуле (2.1) получаем плотность вероятности .

Теперь решим обратную задачу: найдем вид преобразования  по заданной плотности распределения , . Для этого проинтегрируем левую и правую части (2.1)

                                                         (2.2)

откуда находим функцию распределения , тогда СВ  можно найти с помощью преобразования .

Описанный выше метод моделирования называется методом обратных функций. Для моделирования СВ с заданной функцией распределения необходимо осуществить нелинейное преобразование вида

.                                                                              (2.3)

Формула (2.3) означает решение уравнения

,   ~,                                                           (2.4)

где ~ означает, что СВ  имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1].

Комбинируя формулы (2.2) и (2.3), можно по реализации СВ  с произвольной функцией распределения моделировать величины с требуемой функцией распределения . Моделирующий алгоритм дает суперпозиция нелинейных преобразований (2.2) и (2.3):

.                                                                        

Получим с помощью метода обратных функций моделирующие алгоритмы для ряда распределений, используемых при моделировании случайных процессов и полей [4].

Рассмотрим СВ с рэлеевским законом распределения. В этом случае плотность распределения вероятностей (ПРВ), функция распределения, среднее значение и дисперсия имеют соответственно вид:

, , , 

,    ,

где  — параметр рэлеевского распределения. При этом СВ  можно получить решая уравнение (2.4), откуда получаем

,                                           (2.5)

где  - равномерно распределенная в интервале [0, 1] СВ (переход от  к  в последней формуле основан на том, что СВ  и  имеют здесь одинаковые законы распределения).

Аналогично, для получения СВ, описывающей интервалы времени между соседними заявками, поступающими на вход телекоммуникационной системы и имеющей  показательный закон распределения [6]

, , ,

решая уравнение , т.е. , находим обратную функцию  . Таким образом, показательную СВ  можно сформировать из равномерной СВ  с помощью функционального преобразования .

Путём преобразований

,                                    (2.6)

можно сформировать СВ, распределенные соответственно по закону арксинуса

, , ;

и закону Коши

, , , .

Используя свойство симметрии тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что закон распределения СВ у, формируемых согласно алгоритмам (2.6), не изменится, если аргумент  у тригонометрических функций заменить аргументом .

Рассмотрим  СВ  , имеющую ПРВ [41]

.                                            

Соответствующая функция распределения

.

Уравнение (2.2) в данном случае примет вид

, ~.

Находя отсюда , получим

,                                                                    

где ~, .

Рассмотрим  моделирование  СВ с  плотностью [41]

                                            (2.7)

Интегрируя формулу (2.7), получим для функции распределения выражение

.

Отсюда получаем уравнение

   ~,

из которого следует моделирующий алгоритм

.                                                                        

К сожалению, не всегда существуют элементарные преобразования для получения СВ с заданным законом распределения из равномерно распределенных СВ. В частности, у СВ с нормальным распределением функция, обратная функции распределения, не выражается через элементарные функции. В подобных случаях для формирования СВ с заданным распределением используются различные аппроксимации функции , а также другие подходы к решению задачи моделирования  [3, 4, 28].