4.1.1. Алгоритмы формирования дискретных случайных полей

По своему строению случайные поля значительно сложнее СП. Во‑первых, реализации случайного поля являются функциями нескольких переменных, теория которых принципиально сложнее теории функций одной переменной. Во-вторых, значительно усложняется понятие марковости.

СП можно представить развивающимся во времени, математическим выражением такого развития и является модель (3.1). Для марковских последовательностей временной интервал может быть разбит любой точкой i на условно независимые прошлое  и будущее . Однако случайное поле определено на  n-мерной области W, для геометрического разбиения которого на две части  и  требуется, по меньшей мере, -мерная область . Свойство марковости случайного поля состоит в том, что для любого множества  (из некоторого класса множеств) СВ, входящие в , условно независимы от СВ, входящих в , при известных значениях . Назвать ,  и   прошлым, настоящим и будущим можно весьма условно. Тем не менее марковское свойство позволяет представить случайное поле также формирующимся во времени от  через  к , причём  с течением времени перемещается по W. Например, если в качестве  брать строки двумерной сетки W, то поле  можно представить формирующимся построчно [20].

Дальнейшее развитие этой идеи позволяет обобщить АР модели случайных последовательностей на случайные поля. В связи с этим рассмотрим в общем виде задачу рекуррентного формирования случайного поля    на  -мерной  прямоугольной сетке  .  При этом предполагается, во-первых, существование некоторой процедуры  последовательного перебора точек  , т.е. правила линейного упорядочения  точек  , на основе которого можно сказать, что элемент  предшествует элементу    или наоборот. Во-вторых, должен быть задан алгоритм, определяющий, каким образом очередное значение случайного поля   может быть найдено на основе ранее вычисленных значений  , где    - некоторая область индексов  , предшествующих очередному элементу . Такую область  конечных размеров обычно называют областью локальных состояний  [8, 12, 31]. Наконец, для формирования случайного поля   с определенными вероятностными характеристиками на каждом шаге рекуррентных вычислений функция  должна включать в качестве аргумента совокупность    вспомогательных СВ. 

Таким образом, представление случайного поля на основе рекуррентной процедуры должно иметь следующий вид

,                                                           (4.1)

где   - области элементов  , на которых уже определены предыдущие значения случайного поля  , вообще говоря, нелинейные скалярные или  векторные функции двух тензорных аргументов. Наиболее простым частным случаем (4.1) является  линейное стохастическое уравнение

                                           (4.2)

с белым гауссовским СП  , соответствующее известному уравнению авторегрессии - скользящего среднего  [2]  для СП. Однако в отличие от своего одномерного аналога, свойства случайного поля  , порождаемого (4.2), в настоящее время изучены не полностью даже для моделей (4.2) с постоянными коэффициентами  и не изменяющимся видом областей    и  :

.                                          (4.3)

Если порядок формирования случайной последовательности  обычно соответствует наблюдаемым во времени значениям, то порядок формирования случайного поля  требует дополнительного определения. Для этого нужно линейно упорядочить узлы сетки , тогда про любые два элемента поля можно сказать, что один из них предшествует другому. Если  предшествует , то будем отмечать это как , т. е. номер элемента  меньше номера  при данной развертке. Существует множество вариантов такого упорядочения. В двумерном случае чаще всего применяются пилообразная и треугольная развертки (рис. 4.2).

 

В результате развертки поле преобразуется в случайную последовательность. Предположим, что она является марковской порядка s, т. е. условная ПРВ любого  относительно всех предшествующих ему элементов зависит только от элементов некоторого конечного отрезка . Множество  называется глобальным состоянием. В двумерном случае оно при пилообразной (и треугольной) развертке включает в себя несколько последних строк и показано на рис. 4.3. Следовательно, можно представить  в каузальном виде как функцию элементов глобального состояния и возмущения :

.                                                    (4.4)

Полученное выражение представляет АР модель случайного поля. Однако использовать (4.4) для представления полей на сетках больших размеров трудно, а для бесконечных сеток – невозможно ввиду большого или даже бесконечного числа аргументов функций .

Преодолеть эту трудность позволяет то обстоятельство, что ПРВ  часто зависит не от всего глобального состояния , а только от некоторой его части , называющейся локальным состоянием и включающей в себя только достаточно близкие к  элементы поля, не упреждающие  относительно данной развертки. На рис. 4.3 область, соответствующая локальному состоянию , обозначена двойной штриховкой.

В результате поле X может быть представлено АР моделью

,                                        (4.5)

которая во многих случаях может быть приемлема для решения прикладных задач. Конечно, может оказаться, что даже область локального состояния  слишком велика, и возникают значительные технические трудности при имитации или обработке полей. В таких ситуациях можно  уменьшить до приемлемых размеров, используя полученную модель (4.5) как некоторое приближение к реальным физическим объектам.