Глава 3. Синтез и анализ эффективности адаптивных алгоритмов различения сигналов с ППРЧ, частотной модуляцией и разнесением символов по частоте
3.1. Синтез оптимального адаптивного алгоритма различения сигналов с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ
В связи с широким внедрением в СРС быстродействующей микропроцессорной техники и современной элементной базы заметно повысился научный и практический интерес к разработке и применению в СРС с ППРЧ сигналов с частотным разнесением символов. Опубликован ряд работ отечественных и зарубежных специалистов, в которых проведен анализ помехоустойчивости СРС с ППРЧ и разнесением символов по частоте, например [10-15].
Частотное разнесение символов (также как и пространственное, временное, поляризационное разнесение сигналов) с последующей их обработкой приводит к улучшению рабочих характеристик приема сигналов. Системы радиосвязи с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ являются, как правило, некогерентными системами. Разнесение символов на более короткие по длительности частотные элементы (субсимволы) на передающей стороне СРС и их последующая обработка на приемной стороне СРС сопровождается некогерентными потерями, что отрицательно сказывается на помехоустойчивости таких СРС. Результат взаимодействия указанных двух противоположных с точки зрения помехоустойчивости СРС процессов, т.е. частотного разнесения символов и некогерентной обработки субсимволов, определяется структурой используемого в приемнике СРС демодулятора, типом решающего устройства, наличием дополнительной информации о «надежности» отдельных субсимволов при воздействии помех.
Синтез оптимального адаптивного алгоритма различения сигналов с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ проведем для случая воздействия на СРС шумовой помехи в части полосы и собственных шумов приемника СРС в условиях априорной неопределенности относительно дисперсии помехи и амплитуды субсимвола на каждом скачке частоты.
Для случая, когда в качестве информационной дискретной модуляции используется M-ичная ЧМ, математическая модель
-го субсимвола может быть записана в виде:
(3.1)
где
- амплитуда и частотный сдвиг
–го субсимвола,

- начало и окончание
–го субсимвола (
–го скачка несущей частоты),
;
- число субсимволов (частотных элементов) в символе,
;
- длительность символа (бита) и скачка частоты;
- начальная фаза
–го субсимвола,
- ширина полосы частот субсимвола,
.
Результирующий полезный сигнал, представляющий собой информационный символ 1 или 0, состоит из
отрезков гармонического колебания (3.1) и имеет энергию
(3.2)
где
- мощность сигнала.
Шумовая помеха в части полосы
, как указывалось выше, может быть представлена в виде сосредоточенного по полосе белого гауссовского шума, мощность которого
ограничена и равномерно распределена в пределах полосы
,
. При этом мощность помехи, воздействующей на каждый субсимвол в подавляемой полосе
, можно записать в виде:
(3.3)
где
- средняя спектральная плотность мощности помехи в расширенной полосе
.
При равномерном распределении субсимволов в полосе
помехой может быть подавлено
из
. субсимволов,
. На остальные (
) субсимволы воздействуют только собственные шумы приемника
которые можно описать гауссовской помехой с нулевым средним и равномерной спектральной плотностью мощности
.
Мощность помехи и шума на входе приемника СРС на частотe
-го субсимвола представим в виде:
(3.4)

В соответствии с (3.4) действующую на входе приемника СРС помеху можно рассматривать как нестационарную с изменяющейся мощностью.
Для решения задачи синтеза оптимального алгоритма адаптивного различения сигналов с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ примем, что на входе приемного устройства действует аддитивная смесь
-го субсимвола
шумовой помехи
и собственных шумов приемника 
,
, (3.5)
где
,
.
Задача синтеза заключается в том, чтобы по совокупности принятых реализаций (3.5) определить оптимальный алгоритм различения символов 1 и 0 за время длительности символа
. Данная задача аналогична синтезу алгоритма некогерентного приема сигналов при использовании нескольких каналов разнесения [23]. При выбранных моделях сигнала, помехи и собственных шумов приемника наиболее предпочтительным критерием оптимальной обработки в СРС является критерий В.А. Котельникова (критерий идеального наблюдателя). В случае различения
детерминированных сигналов данный критерий позволяет получить минимум вероятности ошибки на бит
(3.6)
где
- априорная вероятность передачи частотных элементов символа, характеризующая среднюю частоту, с которой субсимвол
посылается в канал, по физической сущности
;
- условная вероятность того, что передаваемый символ принят ошибочно, т.е. вероятность решения
oприеме символа
, когда в действительности был передан символ
.
При выбранной стратегии формирования символа можно допустить, что передача частотных элементов сигнала
, равновероятна на любой из
несущих частот в диапазоне
, поэтому
(3.7)
С учетом (3.7) вероятность ошибки
(3.8)
Стратегия различителя, минимизирующего (3.8), сводится к использованию правила максимального правдоподобия
при всеx
(3.9)
где
- отношение правдоподобия, соответствующее
-у информационному символу.
Из (3.9) следует, что для нахождения оптимального алгоритма обработки сигналов с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ требуется знание функционалов правдоподобия как для отдельных субсимволов за время скачка частоты
, так и сигнала с ППРЧ в целом за время одного бита информации
.
При заданных моделях сигнала и помехи и принятой стратегии передачи субсимволов функционалы правдоподобия можно представить в виде [42,43]:
для каждого частотного элемента сигнала с ППРЧ
(3.10)
для сигнала с ППРЧ в целом
(3.11)
где
,
,
,
- энергия, отношение сигнал-помеха, спектральная плотность мощности помехи и собственных шумов приемника СРС на
-м скачке частоты, начальная фаза
-го субсимвола, соответственно; 

Так как начальная фаза каждого субсимвола случайна и равномерно распределена на интервале
, то функционал правдоподобия сигнала с ППРЧ в целом может быть получен путем усреднения правой части выражения (3.11) по начальным фазам:
(3.12)
Для определения функционала правдоподобия
представим внутренний интеграл в виде:
(3.13)
где
;
,
; (3.14)
- амплитуда ортогональных сигналов; в дальнейшем можно принять, что
.
Учитывая (3.12) и выполнив необходимые преобразования, получим
(3.15)
Интеграл, входящий в (3.15), представляет собой модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка 
(3.16)
Подставив (3.16) в (3.12) и проделав соответствующие преобразования, функционал правдоподобия (3.12) запишем в виде [43]:
(3.17)
где
(3.18)
В соответствии с правилом максимального правдоподобия (3.9) а также, учитывая (3.18), решение
о том, что за время
, передавался сигнал
, соответствующий
-у информационному символу, принимается в том случае, когда
(3.19)

Условие (3.19) определяет оптимальный алгоритм различения сигналов с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ. Построение решающей схемы, реализующей алгоритм (3.19), существенно упрощается, если при обработке реализаций
вычисляются не отношения правдоподобия (3.9), а соответствующие им логарифмы. Прологарифмировав обе части выражения (3.19), получим:
(3.20)
или
;
где
; 
Как следует из (3.20), оптимальный алгоритм адаптивного различения сигналов с ППРЧ за время
отличается от оптимальных алгоритмов различения некогерентных сигналов без ППРЧ и различения сигналов с ППРЧ для случая, когда известна амплитуда сигнала, а спектральная плотность мощности помехи постоянна во всем частотном диапазоне СРС.
На рис.3.1 изображена структурная схема приемника, реализующая оптимальный алгоритм различения сигналов с внутри символьной ППРЧ и M-ичной ЧМ [44], на рисунке обозначено: ГОН - генератор опорного напряжения;
- фазовращатель на 90°; СВМ - схема выбора максимума. Как следует из выполненною синтеза такой приемник при
должен быть приемником взаимокорреляционного типа, в котором по принятым реализациям смеси сигнала, помехи и шума в течении действия каждого
-го субсимвола вычисляются корреляционные интегралы
и
, которые затем возводятся в квадрат, суммируются и далее находятся значения огибающей функции взаимной корреляции между принятыми реализациями
и опорными сигналами
,
. Таким путем формируются статистики (3.18), которые умножаются на весовой множитель вида:
(3.21)
Напряжения, пропорциональные
, подвергаются нелинейной обработке вида
и дальнейшему суммированию в каждом
-м канале. Результирующее суммарное напряжение с выхода
частотного канала подается на схему выбора максимума, на выходе которой формируется решение
о приеме сигнала
. Заметим, что в соответствии с (3.19) решающая схема может быть реализована на нелинейных элементах с характеристикой вида функции Бесселя нулевого порядка
и перемножителях с характеристикой вида
.
Из анализа оптимальной структурной схемы обработки сигналов с внутирсимвольной ППРЧ и M-ичной ЧМ (рис.3.1) следует: 1) оптимальный приемник сигналов с внутрисимвольной ППРЧ и ЧМ состоит из двух частей: одна часть обеспечивает обработку

Рис. 3.1.
принятых реализаций
как при обычном некогерентном накоплении; вторая - производит весовую обработку сформированных статистик
; 2) для реализации оптимального алгоритма различения сигналов с ППРЧ (3.20) необходимо иметь априорную информацию об амплитуде частотного элемента сигнала
и дисперсии помехи
для каждого
скачка частоты, тогда как на входе приемника одновременно действуют частотный элемент сигнала, помеха и собственный шум приемника СРС; 3) чем больше мощность помехи
на частоте
частотного элемента, тем с меньшим весом учитывается вклад помехи принятого элемента
в результирующее отношение сигнал-помеха на выходе сумматора
частотного канала.
В [1] указаны трудности формирования весовых множителей вида
. Преодоление этих трудностей возможно путем нахождения способов получения статистических оценок параметров
и
. Данная задача сводится к оценке математического ожидания и дисперсии случайного процесса по его реализации конечной длительности.