3.3.1. Случай «слабых» сигналов
Для слабых сигналов и достаточно точного измерения параметров
и
, когда
, алгоритм (3.20) можно представить в виде:
(3.38)
Входящие в (3.38) величины
и
запишем следующим образом:
; (3.39а)
(3.39б)
где
- нормированные независимые гауссовские переменные с нулевым средним и дисперсией, равной
;
;
;
;
- статистически независимые гауссовские случайные величины со средним значением, равным нулю, и дисперсиями:

и
- величины, характеризующие элементы сигнала;
- мощность помехи на
скачке частоты, определяемая из выражения (3.4).
Как видно из (3.39а), нормированные
, содержащие элементы полезного сигнала, распределены по закону
с двумя степенями свободы и параметром нецентральности
, а нормированные величины
(3.39б), в которых отсутствует полезный сигнал, имеют центральное
- распределение с двумя степенями свободы.
Для случая сильной шумовой помехи в части полосы влиянием частотных элементов, пораженных этой помехой, на результирующий (суммарный) сигнал можно пренебречь. Заметим, что случай подавления помехой всех
субсимволов не рассматривается, так как это полностью нарушает работоспособность СРС. В практических устройствах обработки, как правило, осуществляется отключение частотных каналов, подавленных сильной помехой.
Учитывая, что сомножитель
в оставшихся субсимволах, подвергнувшихся воздействию помехи, принимает примерно одно и тоже значение, распределение случайной величины
(3.40а)
можно аппроксимировать нецентральным
- распределением с
степенями свободы и параметром нецентральности.
.
Случайная величина
, в которой отсутствует полезный сигнал, распределяется по закону центрального
- распределения с
степенями свободы
(3.40б)
В обшем случае УВО на бит определяется из выражения
(3.41)
где
,
- функции плотности распределения вероятностей случайных величин
и
соответственно.
В соответствии с [48] функции плотности распределения вероятностей
и
имеют вид:


где
- модифицированная функция Бесселя первого рода порядка
;
- гамма-функция.
Для получения УВО в виде конечной суммы представим внутренний интеграл в (3.41) в виде [48].
(3.42a)
а функцию
как
(3.42б)
Используя (3.42а) и (3.42б), в соответствии с (3.41) получим выражение для УВО на бит [44]
(3.43)
Применяя свойства гамма-функции [48,49]

преобразуем (3.43) к виду:
(3.44)
где
.
Бесконечный ряд в (3.44) представляет собой вырожденную пшергеометрическую функцию [48,49]

которую можно выразить следующим образом:
(3.45)
где
- обобщенный полином Лагерра
[48].
После подстановки (3.45) в (3.44) получим выражение для УВО на бит
в виде конечной суммы при условии, что
[44]
(3.46)
Учитывая (3.37), СВО на бит
системы радиосвязи с внутрисимвольной ППРЧ и синтезированным алгоритмом (3.38) определяется из выражения
(3.47)
где 
Из анализа уравнений (3.46) и (3.47) следует, что при выбранной модели слабых сигналов, когда подавленные сильной помехой в части полосы субсимволы исключены из рассмотрения, УВО на бит
и, следовательно, СВО на бит
в явном виде не зависят от отношения сигнал-помеха
. Такая зависимость проявляется опосредованно через величину подавляемой помехой части диапазона
ичисло субсимволов
, подверженных воздействию помехи.
В [11] оценивается помехоустойчивость СРС с внутрисимвольной ППРЧ и двоичной ЧМ, в которой для демодуляции сигналов используется алгоритм, реализуемый с помощью квадратичного детектирования и нелинейного сложения выборок, пронормированных весовым множителем вида
. При анализе помехоустойчивости такой СРС в [11] предполагается: 1) амплитуды субсимволов
на разных частотах равны между собой; 2) измерение мощности помехи
осуществляется «идеально» без ошибок на каждом
скачке частоты.
Для случая сильной шумовой помехи полученное в [11] выражение для УВО на бит имеет вид:
,
(3.48)
Из (3.46) и (3.48) видно, что выражения для УВО на бит при одном и том же параметре нецентральности
отличаются только числом степеней свободы, которое при
больше в (3.48).
Проведем анализ влияния числа степеней свободы на УВО на бит. Для решения данной задачи воспользуемся гауссовской ап-проссимацией. При таком допущении УВО на бит определяется из выражения
(3.49)
где
- функция Лапласа,
- математическое ожидание разности статистик
с точностью до множителя, не влияющего на УВО,
;
- дисперсия разности статистик
:
.
Анализ (3.49) показывает, что при большем числе степеней свободы, когда
, аргумент функции Лапласа
, где
. Следовательно, УВО на бит (3.46) меньше аналогичной вероятности (3.48), так как
. Таким образом, в случае аппроксимации статистик решения
и
нормальным законом распределения при сильной шумовой помехе и точном измерении амплитуды субсимволов
и дисперсии шумовой помехи
синтезированный квазиоптимальный алгоритм, как и следовало ожидать, эффективнее эвристического алгоритма различения сигналов с внутрисимвольной ППРЧ [11], а выражение (3.47) характеризует нижнюю границу СВО на бит информации.
Заметим, что, когда влиянием собственных шумов приемника СРС пренебречь нельзя, УВО на бит
при слабом сигнале и точном измерении параметров
и
может быть получена из выражения (3.46) путем замены в нем
на
. В этом случае СВО на бит
имеет вид [11]:
(3.50)
где параметр нецентральности
определяется из выражения

При принятых выше допущениях оценка помехоустойчивости СРС с внутрисимвольной ППРЧ и синтезированным квазиоптимальным алгоритмом полиостью совпадает с оценкой помехоустойчивости СРС с внярисимвольной ППРЧ, квадратичным детектированием и нелинейным сложением субсимволов при «идеальном» измерении мощности помехи. Дальнейший анализ зависимости СВО на бит
(3.50) детально изложен в четвертой главе.