Приложение П.6.2. Верхняя граница вероятности правильного обнаружения
Покажем, что
(П.6.2.1)
и
при
. (П.6.2.2)
Введем для доказательства (П.6.2.1) и (П.6.2.2) вспомогательные функции
(П.6.2.3)
и
. (П.6.2.4)
При любом непоследовательном алгоритме обнаружения
и
функционально связаны, т.е.
. Поэтому рассмотрим поведение функций
и
на кривой
. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при выполнении (6.50) функция
, где
. При
имеем
и
. Следовательно,
- возрастающая по
функция и при
неравенство (П.6.2.1) всегда выполняется. Тогда (П.6.2.1) выполняется в любой точке
и, в частности на кривой
. Докажем (П.6.2.4). Дифференцируя по
, имеем для частной производной
. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
. Следовательно,
на всем единичном квадрате
, т.е. и на кривой
и, таким образом, имеет место неравенство (П.6.2.1).