14.3. КАНАЛ, НЕСЕЛЕКТИВНЫЙ ПО ЧАСТОТЕ С МЕДЛЕННЫМИ ЗАМИРАНИЯМИ

В этом разделе мы определим вероятность ошибки двоичной ФМ и двоичной ЧМ, когда сигналы передаются по неселективному по частоте каналу с медленными замираниями. Как описано в разделе 4.2 частотный неселективный канал приводит к мультипликативному искажению переданного сигнала . Далее условие медленности замираний предполагает, что, мультипликативный процесс можно считать неизменным, по крайней мере на сигнальном интервале. Следовательно, если передаваемый низкочастотный сигнал , то принимаемый эквивалентный низкочастотный сигнал равен на сигнальном интервале

,                     (14.3.1)

где  представляет комплексный белый гауссовский шумовой процесс, искажающий сигнал.

Предположим, что замирания в канале достаточно медленны, так что фазу  можно оценить по принимаемому сигналу без ошибок. В этом случае, мы можем обеспечить идеальное когерентное детектирование принимаемого сигнала. Таким образом, принимаемый сигнал можно обработать, пропуская его через согласованный фильтр в случае двоичной ФМ или через пару согласованных фильтров в случае двоичной ЧМ. Один из методов, который мы можем использовать для определения качества двоичных систем связи сводится к расчёту величин для решения и по ним определить вероятность ошибки.

Однако мы это уже делали для фиксированного (инвариантного во времени) канала. Таким образом, для фиксированного ослабления из (5.2.5) следует выражение для вероятности ошибки двоичной ФМ как функции от ОСШ  принимаемого сигнала

                           (14.3.2)

где . Выражение для вероятности ошибки двоичной ЧМ при когерентном детектировании определяется (5.2.10) так

                              (14.3.3)

Мы можем рассматривать (14.3.2) и (14.3.3) как формулы для условной вероятности ошибки при условии, что  фиксировано. Для получения вероятности ошибки, когда  случайная величина, мы должны усреднить , определяемых (14.3.2) и (14.3.3) по  с ФПВ . Таким образом, мы должны вычислить интеграл

                 (14.3.4)

Релеевские замирания. Поскольку  распределено по Релею,  имеет хи-квадрат распределение с двумя степенями свободы. Следовательно,  также распределено по закону хи-квадрат. Легко показать, что

                      (14.3.5)

  - среднее значение ОСШ, определяемое так:

                                 (14.3.6)

Слагаемое  - среднее значение .

Теперь мы можем подставить (14.3.5) в (14.3.4) и выполнить интегрирование  с учётом (14.3.2) и (14.3.3). Результат интегрирования для двоичной ФМ

                         (14.3.7)

При когерентном детектировании ЧМ получаем результат для средней вероятности ошибки

                                   (14.3.8)

При получении результата (14.3.7) и (14.3.8) мы предположили, что оценка фазового сдвига в канале, полученная при медленных замираниях, безошибочная. Такое идеальное условие может не выполняться на практике. В этом случае выражения (14.3.7) и (14.3.8) следует рассматривать как представляющие наилучшее достижимое качество при замираниях в канале. В приложении С мы рассмотрим проблему оценивания фазы в присутствии шума и определим вероятность ошибки для двоичной многопозиционной ФМ.

В каналах, в которых замирания достаточно быстрые для того, чтобы обеспечить стабильную оценку фазы путем усреднения фазы принимаемого сигнала по многим сигнальным интервалам, альтернативный метод передачи является ДФМ. Поскольку ДФМ требует стабильности фазы только по двум соседним сигнальным интервалам эта техника модуляции достаточно проста при наличии замираний сигнала. Чтобы рассчитать качество двоичной ДФМ для канала с замиранием начнем снова с вероятности ошибки для канала без замирания, которая равна

                                (14.3.9)

Это выражение подставляется в интеграл (14.3.4) вместе с , определяемым (14.3.5). Вычисление интеграла дает среднюю вероятность ошибки для двоичной ДФМ в виде

                                  (14.3.10)

Если мы вообще не хотим заниматься оценкой сдвига фазы и вместо этого будем использовать некогерентное (по огибающей или квадратичное) детектирование и двоичные ортогональные сигналы ЧМ, вероятность ошибки в канале без замираний

                              (14.3.11)

Если усреднить  по ослаблению в канале с релеевским распределением, то получаем для средней вероятности ошибки

                                       (14.3.12)

Кривые вероятности ошибки (14.3.7), (14.3.8), (14.3.10) и (14.3.12) даны на рис.14.3.1.

Рис. 14.3.1. Характеристики двоичной передачи по релеевскому замирающему каналу

При сравнении качества четырех двоичных систем сигналов сконцентрируем внимание на вероятности ошибки при больших ОСШ, т.е. . При этом условии, формулы для вероятности ошибки (14.3.7), (14.3.8), (14.3.10) и (14.3.12) упрощаются

   (14.3.13)

Из (14.3.13) мы видим, что когерентная ФМ на 3 дБ лучше, чем ДФМ и на 6 дБ лучше некогерентной ЧМ. Более удивительным, однако, является наблюдение, что вероятность ошибки уменьшается только обратно ОСШ. В противоположность этому уменьшение вероятности ошибки в канале без замираний зависит экспоненциально от ОСШ. Это означает, что по каналу с замираниями передатчик должен передавать большие уровни мощности для достижения низкой вероятности ошибки. Во многих случаях большие уровни мощности невозможны технически и (или) экономически. Альтернативное решение проблемы получения приемлемого качества по каналу с замираниями сводится к использованию техники разнесения, обсуждаемой в разделе 14.4.

Замирания по Накагами. Если  характеризуется статистически -распределением Накагами, то случайная величина , имеет ФПВ (смотри задачу 14.15)

                       (14.3.14)

где .

Рис. 14.3.2. Средняя вероятность ошибки для двоичной ФМ при одиночном (неразнесённом) приёме

Среднюю вероятность ошибки для любого метода модуляции легко получить усреднением соответствующей вероятности ошибки в канале без замираний по статистике замирающего сигнала.

В качестве примера расчета качества, полученного с -распределением Накагами для канала с замираниями, рис. 14.3.2 иллюстрирует вероятность ошибки двоичной ФМ с  как параметром. Напомним, что  соответствует релеевским замираниям. Видим, что качество растет по мере роста  относительно  что говорит о том, что при этом замирания менее суровые. С другой стороны, если , качество хуже, чем при релеевских замираниях.

Другая статистика замираний. Следуя процедуре, описанной выше, можно определить качество при различных методах модуляции при других видах статистики замирающих сигналов, такая, например, как распределение Райса.

Вероятность ошибки для замираний со статистикой Райса можно найти в статье Линдсея (1964), в то время как расчёты со статистикой Накагами читатель может найти в статьях Эспозито (1967), Майгаки и др. (1979), Чараша (1979), Ол Хасини и др. (1985), и Боли и др. (1991)