§ 54. Падение тела без начальной скорости и движение тела, брошенного вертикально вверх.

Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его движению применимы формулы равноускоренного движения без начальной скорости с ускорением . Обозначим начальную высоту тела над землей через , время его свободного падения с этой высоты до земли — через  и скорость, достигнутую телом в момент падения на землю, — через . Согласно формулам § 22 эти величины будут связаны соотношениями

             (54.1)

                (54.2)

                      (54.3)

В зависимости от характера задачи удобно пользоваться тем или другим из этих соотношений.

Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена некоторая начальная скорость , направленная вертикально вверх. В этой задаче удобно считать положительным направление кверху. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с отрицательным ускорением  и с положительной начальной скоростью. Скорость этого движения в момент времени  выразится формулой

                       (54.4)

а высота подъема в этот момент над исходной точкой — формулой

                     (54.5)

Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет высшей точки подъема; это произойдет в момент , для которого

                           (54.6)

После этого момента скорость станет отрицательной и тело начнет падать вниз. Значит, время подъема тела

                           (54.7)

Подставляя в формулу (54.5) время подъема , найдем высоту подъема тела:

                (54.8)

Дальнейшее движение тела можно рассматривать как падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в начале этого параграфа) с высоты . Подставляя эту высоту в формулу (54.3), найдем, что скорость , которой тело достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна начальной скорости тела  (но, конечно, будет направлена противоположно — вниз). Наконец, из формулы (54.2) заключим, что время падения тела с высшей точки равно времени поднятия тела в эту точку.

54.1. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты  20 м. На какой высоте оно достигнет скорости, равной половине скорости в момент падения на землю?

54.2. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и тон же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз.

54.3. Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с башни высоты : а) без начальной скорости; б) с начальной скоростью , направленной вертикально вверх; в) с начальной скоростью , направленной вертикально вниз.

54.4. Камень, брошенный вертикально вверх, пролетел мимо окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и начальную скорость камня.

54.5. При вертикальной стрельбе по воздушным целям снаряд, выпущенный из зенитного орудия, достиг только половины расстояния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг цели. Во сколько раз начальная скорость снаряда второго орудия больше, чем скорость первого?

54.6. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 с его скорость уменьшилась вдвое?