19.3. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ
В предыдущем разделе идеальное изображение, описываемое функцией
, которое требовалось обнаружить в присутствии аддитивного шума, считалось детерминированным. Если состояние
известно не точно, а лишь с некоторой вероятностью, то идею согласованной фильтрации можно распространить на случай обнаружения случайного ноля в присутствии шума [13]. Даже если известно, что функция
- детерминированная, часто оказывается полезным рассмотреть ее как случайную со средним
. Такая формулировка позволяет учесть в процессе обнаружения априорные знания относительно пространственной корреляции элементов наблюдаемого изображения. При обычной согласованной фильтрации в соответствии с уравнением (19.2.7) эта корреляция полностью игнорируется.
Для целей анализа представим неизвестное поле либо в виде суммы идеального изображения
- реализации случайного ноля (двумерного случайного процесса) с известными моментами - и шумового поля
, не зависящего от изображения:
, (19.3.1а)
либо в виде одного лишь шума
. (19.3.1б)
Неизвестное поле подвергается свертке с импульсным откликом согласованного фильтра
; в результате на выходе фильтра образуется поле
. (19.3.2)
Согласованный фильтр для случайного изображения рассчитывается так, чтобы максимизировать отношение средней энергии сигнала (без учета шума) к дисперсии сигнала на выходе фильтра. Это простое обобщение обычного отношения сигнал-шум, описываемого формулой (19.2.6). При отсутствии шума энергия случайного сигнала в некоторой точке
выходного поля равна
. (19.3.3)
Согласно теореме о свертке и в силу линейности оператора математического ожидания,
. (19.3.4)
Дисперсия на выходе согласованного фильтра в предположении стационарности и независимости сигнала и шума равна
, (19.3.5)
где
и
- спектральные плотности соответственно сигнала и шума. Обобщенное отношение сигнал/шум, совпадающее по форме с отношением (19.2.6) для детерминированного сигнала, максимизируется при
. (19.3.6)
Заметим, что если
- детерминированный сигнал, то выражение (19.3.6) сводится к выражению (19.2.7).
В выражении для частотной характеристики согласованного фильтра случайного сигнала часто заменяют среднее значение спектра идеального изображения, которое требуется обнаружить, на спектр самого изображения. В этом случае при 
. (19.3.7)
Интерес представляет особый случай, когда шум белый
и идеальное изображение рассматривается как неразделимый марковский процесс первого порядка, определяемый уравнением (1.9.17), энергетический спектр которого
, (19.3.8)
где
- коэффициент корреляции соседних элементов. Для таких процессов частотная характеристика согласованного фильтра имеет вид
. (19.3.9)
На высоких пространственных частотах и при низком уровне шумов согласованный фильтр, определяемый соотношением (19.3.9), становится эквивалентным согласованному фильтру с лапласианом, который описывается выражением (19.2.25).