3.5.8. Преобразование Кархунена-Лоэвэ
Преобразование Кархунена-Лоэвэ (его еще называют преобразованием Хотеллинга) имеет наилучшую эффективность в смысле концентрации энергии изображения, но по указанным выше причинам, оно имеет скорее теоретическое, нежели практическое значение. Данное изображение следует разделить на
блоков по
пикселов в каждом, обычно,
, но допускаются и другие значения, а число
зависит от размера изображения. Рассматриваются векторы блоков, которые обозначаются при
. Усредненный вектор равен
. Вводится новое семейство векторов
для которого усредненный вектор
равен нулю. Матрицу преобразования (KLT) размера
, которую мы будем строить, обозначим через
. Результатом преобразования вектора
будет весовой вектор
. Усреднение вектора
также равно нулю. Построим матрицу
, столбцами которой будут служить векторы
. Рассмотрим также матрицу
со столбцами
:
,
.
Матрицы
и
имеют
строк и
столбцов. Из определения векторов
заключаем, что
.
Все
векторов коэффициентов
преобразования Кархунена-Лоэвэ определяются равенствами
,
.
Таким образом, вектор
состоит из
-ых элементов весовых векторов
при
.
Рассмотрим матрицу-произведение
. Элемент строки
и столбца
этой матрицы равен сумме произведений
, для
. (3.17)
Тот факт, что среднее каждого вектора
равно нулю означает, что каждый диагональный элемент
матрицы-произведения является дисперсией (с множителем
)
-го элемента (или
-ой координаты) вектора
. В самом деле, из уравнения (3.17) находим, что
.
Внедиагональные элементы матрицы
являются ковариациями векторов
, то есть, элемент
равен ковариации координат
и
векторов
. Из уравнения (3.17) также видно, что эти величины равны скалярным произведениям
векторов
и
. Одной из основных задач преобразования изображения является приведение его к декоррелированной форме координат векторов. Теория вероятности говорит о том, что две координаты являются декоррелированными, если их ковариация равна нулю (другая цель - это концентрация энергии, но эти две задачи тесно связаны). Значит, необходимо найти матрицу
, такую, что произведение
будет диагональной матрицей.
Из определения матрицы
находим, что
.
Матрица
является симметрической, ее элементами служат ковариации координат векторов
, то есть,
, при
.
Раз матрица
- симметрическая, то ее собственные векторы ортогональны. Нормализуем их (то есть, сделаем их ортонормальными) и выберем их в качестве строк матрицы
. Получим следующий результат:
.
При таком выборе матрицы
матрица
будет диагональной, причем элементы диагонали являются собственными числами матрицы
. Матрица
служит матрицей преобразования Кархунена-Лоэвэ; ее строки являются базисными векторами KLT, а энергией (дисперсией) преобразованных векторов служат собственные числа
матрицы
.
Базисные векторы для KLT вычисляются с помощью пикселов исходного изображения, то есть, они зависят от исходных данных. В конкретном методе сжатия эти векторы следует записывать в сжатый файл для использования декодером. Кроме того не известен быстрый метод вычисления этих векторов. Все эти факты делают метод KLT сугубо теоретическим без реальных приложений.
Честность - вот лучший образ.
- Том Уилсон