32. Характеристическая функция нечеткого подмножества. Нечеткие переменные

Пусть  есть функция принадлежности элемента  нечеткому подмножеству . В § 2-8 мы определили основные операции, которые можно выполнять с нечеткими подмножествами одного и того же универсального множества.

В этой главе мы будем предполагать, что множество степеней принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству есть

.                  (32.1)

Мы уже напоминали, как выполняются операции бинарной булевой алгебры над обычными подмножествами.

Будем использовать следующее обозначение:

,  и т. д.                      (32.2)

Мы знаем, что в бинарной булевой алгебре переменные, обозначаемые здесь через  могут принимать только значения 0 или 1. В табл. 32.1 операции этой алгебры сопоставляются с операциями теории множеств.

Таблица 32.1

Подмножества	Соответствующие операции
	(32.3)
	(32.4)
	(32.5)
	(32.6)

Основные соответствия, которые мы видим в (32.3) - (32.6), устанавливают дидактическое введение и будут справедливы не только для булевых характеристических функций и функций принадлежности с , но и для нечетких функций с .

Пусть  - элемент универсального множества  и  - нечеткие подмножества этого универсального множества. Пусть

, , …; .                  (32.7)

В соответствии с § 2-8 надо определить следующие операции на величинах :

,                (32.8)

,              (32.9)

,                    (32.10)

.                  (32.11)

Используя определения, данные в (7.18) - (7.32), можно записать:

,                    (32.20)

,                    (32.21)

,                    (32.22)

,                     (32.23)

.                     (32.24)

Доказательства всех этих формул тривиальны, за исключением, может быть, формул (32.18), (32.19), (32.25) и (32.26).

Докажем (32.18). Предположим, что значения величин , и  могут находиться в отношениях, определяемых следующими тремя различными полными порядками (не имеет смысла рассматривать шесть порядков)

                    (32.27)

Имеем

1) ,                 (32.28)

.                 (32.29)

2) .                 (32.30)

.                 (32.31)

3) .                 (32.32)

.                 (32.33)

Аналогично можно доказать формулу (32.19).

Докажем теорему де Моргана (32.25). Пусть ,

,                     (32.34)

,                     (32.35)

.                      (32.36)

Тогда

                  (32.37)

или

.              (32.38)

Очень важное замечание. За исключением двух свойств

                      (32.39)

и

,                    (32.40)

для которых, кроме случая  или , соответствующие соотношения для нечетких множеств не выполняются:

, исключая  или ,                      (32.41)

, исключая  или ,                       (32.42)

свойства (32.12) - (32.26) составляют все свойства бинарной булевой алгебры.

Из-за этих исключений структура, определяемая на множестве переменных  операциями ,  и  не может рассматриваться как алгебра в том смысле, в каком этот термин употребляется в современной математике. Поэтому следует отдавать себе отчет в том, что слово «алгебра», как и многие другие слова из математического лексикона, не всеми употребляются в одном и том же смысле.

Нечеткие переменные. Функции нечетких переменных. В настоящей теории переменные  будут называться нечеткими переменными. Функции, построенные с помощью таких переменных, будут называться функциями нечетких переменных, если выполнено следующее условие.

Пусть  есть функция от аргументов . Чтобы эту функцию можно было назвать функцией нечетких переменных, необходимо и достаточно, чтобы  зависела только от нечетких переменных и чтобы

.                   (32.43)

Теорема 1. Если  содержит только нечеткие переменные и операторы ,  и , то условие (32.43) всегда выполнено.

Доказательство. Утверждение теоремы очевидно. Каждая из операций ,  или  на переменных  не может дать результат, выходящий за пределы 0 и 1. Применение к таким результатам операций , ,  не может дать результат, выходящий за эти границы.

Упрощение функций нечетких переменных. В отличие от булевых функций для систематического анализа функций от нечетких аргументов нельзя воспользоваться методом составления таблиц истинности.

Они не поддаются упрощению так легко, как булевы функции, поскольку не обладают свойствами (32.39) и (32.40). По этой же причине эти функции нельзя представить в дизъюнктивной нормальной форме (с помощью минитермов) или в конъюнктивной нормальной форме (с помощью макситермов).

Иногда определенное число упрощений можно успешно провести, используя только свойства (32.12) - (32.26). Рассмотрим несколько примеров таких упрощений:

             (32.44)

Итак,

.                      (32.45)

Это так называемое свойство поглощения.

Аналогично можно показать, что

.                       (32.46)

Это двойственная форма свойства поглощения.

Рассмотрим еще один пример:

                       (32.47)

согласно свойству поглощения для (1) и (5) и для (2)-(4).

Здесь уместно отметить важную роль скобок.

Мы знаем, что число различных булевых функций при  различных переменных равно . В случае  нечетких переменных число нечетких функций, составленных произвольным образом из этих  переменных и операций ,  и , также конечно; мы докажем это позже.

Замечание. Операцию  можно выразить через операцию  и операцию  и наоборот. Действительно,

.                       (32.48)

Это другой способ представления закона (32.25). То же можно сделать для второго закона де Моргана (32.26).

Таким образом, достаточно использовать операторы  и  или операторы  и  для того, чтобы представить любую функцию нечетких переменных, содержащую символы ,  и , хотя выражение становится очень громоздким.

Следует напомнить, что в булевой алгебре для того, чтобы представить произвольную булевую функцию, достаточно одного оператора.

Рассмотрим оператор Шеффера:

,                 (32.49)

поскольку

,                   (32.50)

,               (32.51)

.                 (32.52)

Рассмотрим оператор Пирса:

,               (32.53)

поскольку

,                   (32.54)

,                    (32.55)

.                   (32.56)

От булевых выражений, использующих оператор Пирса, можно переходить к выражениям, содержащим оператор Шеффера, и наоборот:

,                    (32.57)

.                        (32.58)

Хотя трудности в написании появляются довольно скоро и это исключает возможность использования таких операторов в ручных вычислениях, с их помощью можно по единой технологии сконструировать электронную схему для автоматических расчетов, которая в определенных случаях может оказаться полезной.

Для нечетких переменных мы определим операторы:

Шеффера

;                (32.59)

Пирса

.              (32.60)

Любую функцию нечетких переменных можно записать с помощью только одного из этих операторов. Имеем

1) ,                                (32.61)

,             (32.62)

.                     (32.63)

2)               (32.64)

,                 (32.65)

.                   (32.66)

Используя формулы (32.57) и (32.58), можно перейти от оператора Пирса к оператору Шеффера и наоборот.

В качестве примера рассмотрим, как записать не слишком сложную функцию нечетких переменных, используя оператор Шеффера:

       (32.67)

Это очень сложное выражение для такой простой функции, как .

Таблица значений функции нечетких переменных. Для изучения булевых бинарных функций можно использовать так называемую таблицу истинности, в которой бинарным переменным придаются все возможные значения и выписываются соответствующие значения функции. Такая таблица истинности не была бы лишена смысла для функций нечетких переменных, но можно построить таблицу другого типа, которая играет аналогичную роль.

Чтобы изучить функцию одной нечеткой переменной , рассмотрим ее значение в следующих двух случаях:

, .              (32.68)

Для изучения функции двух переменных  и  рассмотрим ее значение в следующих восьми случаях:

                      (32.69)

Чтобы изучить функцию трех переменных ,  и , рассмотрим следующие 48 случаев, выписанных для экономии места без знака  и символа :

                     (32.70)

Для изучения функции  переменных рассматривается

 случаев,                     (32.71)

где .

Рассматривая соотношения (32.68) - (32.70), можно установить эффект антисимметрии, возникающий из-за того, что

если , то .                       (32.72)

Чтобы перечислить все возможные случаи без пропусков и повторений, используем лексикографическую процедуру.

Установим, например, следующее соответствие:

.            (32.73)

Тогда имеем соответствия

                        (32.74)

Легко представить себе и другие процедуры.

Рассмотрим пример. Перечислим значения функции

;                    (32.75)

результат представлен на рис. 32.1.

Рис. 32.1.

Равносильность двух функций нечетких переменных. Скажем, что две функции  и , нечетких переменных равносильны (говорят также тождественны), если они имеют одну и ту же таблицу значений, включающую все возможные случаи.

Смешанные операции. Переменные , могут подвергаться другим, отличным от , , и  операциям при образовании того, что будет называться смешанными функциями нечетких переменных.

В число таких операций входят:

умножение ,                   (32.76)

для которого, как легко проверить, выполняется свойство

, .                 (32.77)

и суммирование

,                  (32.78)

здесь тоже сохраняется свойство (32.77).

Например, выражение

             (32.79)

- смешанная функция.

Важное замечание. С помощью таблицы перечисления можно для  переменных определить

                   (32.80)

различных функций; таким образом, при

                        (32.81)

Только незначительную часть всех этих функций составляют функции нечетких переменных, представимые с помощью операций  и  на переменных  и .

Соглашение. Если специально не оговаривается, аналитической функцией нечетких переменных (обозначается ) будем называть любую функцию переменных , которую можно выразить, используя только операции  и ; переменные могут входить в эти функции или непосредственно , или как дополнение, т. е. .

Для упрощения изложения, когда это не будет вызывать ошибки или путаницы, аналитические функции нечетких переменных будем называть просто функциями нечетких переменных.