13. Восстановление изображений по отдельным отсчетам

При восстановлении изображений необходимо выбрать некоторый критерий качества, в соответствии с которым можно говорить о лучших и худших результатах восстановления. При этом обычно выбирают величину , где  - восстановленное значение -ого элемента. Для данного критерия известен алгоритм оптимального оценивания.

Пусть дан вектор  пораженный белым гауссовским шумом  с  и :

,

где  - исходный вектор. Выполним синтез оптимального фильтра по критерию минимума дисперсии ошибок оценивания:

,                              (40)

где  - вектор коэффициентов фильтра для восстановления -ого элемента. Целью синтеза является определение вектора , обеспечивающего минимум . Для этого продифференцируем выражение (40) по  и приравняем результат нулю:

.

Вычислим оптимальные коэффициенты, учитывая, что шум наблюдения  не коррелирован с элементами вектора :

,                                         (41)

где  - взаимная корреляция вектора элемента  с вектором ;  - корреляционная матрица вектора ;  - диагональная матрица дисперсий шума наблюдений.

Таким образом, при построении оптимальной линейной оценки необходимо знать корреляционную матрицу случайного процесса или случайного поля (изображения). Рассмотрим задачу восстановления элементов вектора  по наблюдениям , , , которые в дальнейшем будем называть множеством неполных наблюдений. При этом выражения (40) и (41) перепишутся в виде:

,

,                                          (42)

где  -  - матрица выделения множества неполных наблюдений: , . Например, для выделения нечетных элементов вектора , матрица  имеет вид:

Вектор весовых коэффициентов  размером  элементов, вычисленный по формуле (42), позволяет строить оптимальный прогноз неизвестных элементов вектора  в виде линейной комбинации

.

Обобщим приведенные выражения восстановления последовательности по множеству неполных наблюдений на двумерный случай для восстановления изображений. Пусть дано случайное поле  размером  отсчетов и известна его корреляционная матрица . Рассмотрим алгоритм построения оптимального линейного прогноза неизвестных элементов по известным наблюдениям , , . Не теряя общности, наблюдаемый двумерный сигнал  можно представить в виде одномерного , где  - -й вектор столбец матрицы . Корреляционную функцию такого одномерного сигнала можно записать в виде

В приведенных обозначениях выражение (42) можно переписать в виде

,                          (43)

где  - взаимная корреляция элемента  с вектором ;
 -  матрица выделения элементов наблюдений вектора . Вектор коэффициентов  позволяет строить прогноз элемента  изображения :

, при , ,                     (44)

где  - оператор отбрасывания дробной части.

Подставляя вычисленные коэффициенты  в выражение (40) можно найти дисперсию ошибок оценивания неизвестных элементов. После возведения в квадрат и вычисления математического ожидания получаем

.                     (45)

Таким образом, выражения (43)-(45) позволяют восстанавливать изображения по множеству неполных наблюдений , ,  и вычислять дисперсию ошибок оценивания. Рассмотрим пример восстановления изображения  размером 3х3 отсчета по наблюдениям, расположение которых представлено на рис. 19, с корреляционной функцией .

Рис. 19. Расположение наблюдений и оцениваемых элементов

Корреляционная функция  случайного процесса  имеет вид

где  - 3х3 - корреляционная матрица строк вектора . Матрица выделения наблюдений

где  - матрица выделения наблюдений для первой и третьей строк изображения. Вектор  оптимальных коэффициентов для построения прогноза -го отсчета находится по формуле (43).  Например, при  получаем вектор . Тогда прогноз элемента  в соответствии с выражением (44) имеет вид

.

Таким образом, при разделимой экспоненциальной корреляционной функции и коэффициентах корреляции близких к единице, оптимальный линейный прогноз строится как среднее арифметическое двух ближайших наблюдений от оцениваемого элемента. При других корреляционных матрицах и коэффициентах корреляции будут получаться другие коэффициенты оптимального фильтра  и другие значения оценок неизвестных элементов.