7. Основы вейвлет-преобразования

Известно, что произвольный сигнал , для которого выполняется условие  может быть представлен ортогональной системой функций :

,                             (18)

коэффициенты определяются из соотношения

,

где  - квадрат нормы или энергия базисной функции . Ряд (18) называется обобщенным рядом Фурье. При этом произведения вида , входящие в ряд (18), представляют собой спектральную плотность сигнала , а коэффициенты  - спектр сигнала. Суть спектрального анализа сигнала  состоит в определении коэффициентов . Зная эти коэффициенты возможен синтез (аппроксимация) сигналов при фиксированном числе  ряда:

.

Обобщенный ряд Фурье при заданной системе базисных функций  и числе слагаемых  он обеспечивает наилучший синтез по критерию минимума среднеквадратической ошибки , под которой понимается величина

.

Известные преобразования (Адамара, Карунена-Лоэва, Фурье) «плохо» представляют нестационарный сигнал в коэффициентах разложения. Покажем это на следующем примере. Пусть дана нестационарная функция

                          (19)

и ее преобразование Фурье (рис. 9).

Анализ рис. 9 показывает, что нестационарность временного сигнала  представляется большим числом высокочастотных коэффициентов отличных от нуля. При этом возникают следующие проблемы:

- сложно провести анализ временного сигнала по его Фурье образу;

- приемлемая аппроксимация временного сигнала возможна при учете большого числа высокочастотных коэффициентов;

- плохое визуальное качество реальных изображений восстановленных по низкочастотным коэффициентам; и т.п.

Существующие проблемы обусловили необходимость разработки математического аппарата преобразования нестационарных сигналов. Одним из возможных путей анализа таких сигналов стало вейвлет-преобразование (ВП).

Рис. 9. Преобразование Фурье синусоидального сигнала с небольшими ступеньками при переходе через нуль

ВП одномерного сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда Фурье или интеграла Фурье по системе базисных функций локализованных как в пространственной, так и в частотной областях. Примером такой базисной функции может служить вейвлет Хаара, который определяется выражением

                      (20)

Графически вейвлет Хаара представляется следующим образом:

Рис. 10. Базисная функция вейвлета Хаара

Рассмотрим процесс разложения сигнала  в системе базисных функций Хаара. Первая базисная функция, в отличие от всех последующих, представляет собой прямую линию. В случае нормированного базиса , свертка первой базисной функции с исходным сигналом будет определять его среднее значение. Пусть дан дискретный сигнал  длиной  отсчетов. Нормированная базисная функция на интервале  описывается выражением . Тогда свертка данной функции с сигналом  приводит к выражению

.

Если выполнить синтез сигнала  по коэффициенту  с помощью синтезирующей функции , получим постоянную составляющую, соответствующую среднему значению сигнала. Для того чтобы иметь возможность более детально описать сигнал, вычислим второй коэффициент с помощью базисной функции, представленной выражением (20):

Анализ данного выражения показывает, что коэффициент  характеризует разности средних значений половинок сигнала . Если теперь выполнить синтез по двум коэффициентам с синтезирующей базисной функцией для второго коэффициента

получим следующую аппроксимацию:

Дальнейшая операция анализа, т.е вычисления коэффициентов  и синтеза аналогична рассмотренной, с той разницей, что все действия повторяются для половинок сигнала, затем для четверти, и т.д. На самой последней итерации анализ осуществляется для пар случайных величин (рис 11).

Рис. 11. Преобразование пар случайных величин

В результате исходный сигнал точно описывается коэффициентами вейвлет-преобразования Хаара. Вейвлет-коэффициенты сигнала (19) показаны на рис. 10.

Из приведенного рисунка видно, что нестационарности сигнала (резкие перепады) локализуются в малом числе вейвлет-коэффициентов. Это приводит к возможности лучшего восстановления нестационарного сигнала по неполным данным.

Рис. 12. Вейвлет-коэффициенты одного периода функции (19)

При вычислении вейвлет-коэффициентов  базисные функции покрывали анализируемый сигнал следующим образом (рис. 12). Из рис. 12 видно, что система базисных функций Хаара в дискретном пространстве должна задаваться двумя параметрами: сдвига и частоты (масштаба):

,

где  - масштаб базисной функции;  - сдвиг. В дискретном случае параметр масштаба , где  - любое целое положительное число, параметр сдвига . Таким образом, все множество базисных функций можно записать как

.

Прямое и обратное дискретные ВП вычисляются по формулам

,

.

Следует  отметить, что если число отсчетов , то максимальное значение  равно . Наибольшее значение   для текущего  равно .

Для непрерывных сигналов будут справедливы следующие интегральные выражения:

,

.

Таким образом, задавая вейвлет-функции, можно выполнять разложение сигнала по вейвлет-базису непрерывных или дискретных сигналов.

Рис. 13. Распределение базисных функций Хаара при анализе сигнала

Функция  может образовывать вейвлет-базис, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. Ограниченность нормы:

.

2. Вейвлет-функция должна быть ограничена и по времени и по частоте:

 и , при .

Контрпример: дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют данному условию.

3. Нулевое среднее:

.

Если обобщить данное условие, то можно получить формулу , которая определяет степень гладкости функции . Считается, что чем выше степень гладкости базисной функции, тем лучше ее аппроксимационные свойства.

В качестве примера приведем следующие известные вейвлет-функции:

,  .

Для ВП, также как и для ДПФ существует алгоритм быстрого преобразования. Рассмотрим снова ВП Хаара. Из рис. 13 видно, что функции с малым масштабным коэффициентом  используют те же отсчеты сигнала для вычисления коэффициентов, что и функции с большим масштабным коэффициентом. При этом операция суммирования одних и тех же отсчетов повторяется неоднократно. Следовательно, для уменьшения объема вычислений целесообразно вычислять ВП с самого малого масштабного коэффициента. В результате получаем вейвлет-коэффициенты, представляющие собой средние значения  и разности . Для коэффициентов  повторяем данную процедуру. При этом усреднение коэффициентов  будет соответствовать усреднению четырех отсчетов сигнала, но при этом расходуется одна операция умножения и одна операция сложения. Процесс разложения повторяется до тех пор, пока не будут вычислены все коэффициенты спектра .

Запишем алгоритм быстрого вейвлет-преобразования Хаара в матричном виде. Пусть дан вектор  размером 8 элементов. Матрица преобразования Хаара запишется в виде

,

В приведенных обозначениях один шаг быстрого ВП запишется как

.                                        (21)

Повторяем операцию преобразования для коэффициентов :

,                              (22)

для коэффициентов  

.                             (23)

В результате получается набор вейвлет-коэффициентов , по которым можно точно восстановить исходный сигнал. Для этого необходимо задать матрицу синтеза

, .

Восстановленный сигнал запишется в виде

.                                                   (24)

В общем случае вместо коэффициентов  могут быть любые другие, которые описывают соответствующее ВП. При этом элементы в матрицах  можно характеризовать как коэффициенты низко- и высокочастотных фильтров анализа и синтеза соответственно: 

,

,

где  - матрица выделения низкочастотных составляющих;  - матрица выделения высокочастотных составляющих. При этом преобразование сигнала можно представить через свертку КИХ-фильтров (рис. 14).

Рис. 14. Представление ВП через набор низко- и высокочастотных фильтров

Обобщение ВП на двумерный случай приводит к разделимому преобразованию:

,

где  - низкочастотная составляющая; , ,  - высокочастотные составляющие. Таким образом, при двумерном ВП изображение разбивается на четыре компоненты: три высокочастотные, представляющие мелкие детали, и одна низкочастотная, представляющая собой уменьшенную и сглаженную копию исходного изображения. В соответствии с алгоритмом БВП второй шаг ВП запишется в виде

В результате получаем представление изображения на разных уровнях масштаба , , и т.д. Операции преобразования сигнала можно рекуррентно выполнять, пока низкочастотная составляющая не будет представлена одним отсчетом.