§ 3. Скорость как производная
Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин
и
было придумано специальное обозначение:
обозначается как
, а
— как
. Величина
означает «небольшой добавок к
», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок
ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как
не означает
. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок
напоминает нам о его особом характере. Ну, а если
не множитель, то его нельзя сократить в отношении
. Это все равно, что в выражении
сократить все буквы и получить
. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения
при
, стремящемся к нулю, т. е.
(8.5)
Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно величины изменяются.
Существует еще один закон, который выполняется с хорошей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скорости, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е.
. Это правило строго справедливо только тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала
, а это, вообще говоря, происходит, только когда
достаточно мало. В таких случаях обычно пишут
, где под
подразумевают интервал времени
при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал
достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение
будет уже приближенным. Однако если мы пишем
, то при этом подразумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение
точное. В новых обозначениях выражение (8.5) имеет вид
.
Величина
называется «производной
по
» (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный процесс нахождения производной называется, кроме того, дифференцированием. Если же
и
появляются отдельно, а не в виде отношения
, то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции
, или просто производную от
. Она оказалась равной
. Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте найдем производную более сложной функции. Рассмотрим выражение
, которое может описывать движение точки. Буквы
так же как и в обычном квадратном уравнении, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени
. Рассмотрим для этого момент
, причем к
прибавится некоторая добавка
, и найдем, как выражается
через
Поскольку

а

то
.
Но нам нужна не сама величина
, а отношение
. После деления на
получим выражение
,
которое после устремления
к нулю превратится в
.
В этом состоит процесс взятия производной, или дифференцирования функций. На самом деле он несколько легче, чем это кажется на первый взгляд. Заметьте, что если в разложениях, подобных предыдущим, встречаются члены, пропорциональные
или
или еще более высоким степеням, то их можно сразу вычеркнуть, поскольку они все равно обратятся в нуль, когда в конце мы будем
устремлять к нулю. После небольшой тренировки вы сразу будете видеть, что нужно оставлять, а что сразу отбрасывать. Существует много правил и формул для дифференцирования различных видов функций. Их можно либо запомнить, либо пользоваться специальными таблицами. Небольшой список таких правил приводится в табл. 8.3.
Таблица 8.3. Некоторые производные
- произвольные функции
— произвольнее постоянные.