§ 4. Смысл динамических уравнений

Попытаемся теперь понять, что же означает уравнение (9.12). Пусть в данный момент времени  тело находится в точке  и движется со скоростью . Каково будет его положение и скорость спустя небольшой промежуток времени, т. е. в момент ? Если мы сможем ответить на этот вопрос, то проблема решена, так как, исходя из начальных условий, т. е. положения и скорости в некоторый начальный момент времени, можно сказать, как они изменяются в первый момент, а зная положение и скорость в первый момент, можно найти их и в следующий и т. д. Таким образом, шаг за шагом выстраивается вся картина движения. Для большей определенности предположим, что в момент  положение грузика , а его скорость . Почему вообще движется грузик? Да потому, что на него в любом положении, за исключением положении равновесия , действует сила. Если , то эта сила направлена вверх. Следовательно, скорость, которая вначале была нулем, благодаря уравнениям движения начинает изменяться. Но как только скорость начинает возрастать, грузик приходит в движение. Для любого момента времени  при очень малом  можно с достаточно хорошей точностью найти положение в момент  через скорость и положение в момент :

                                             (9.13)

Конечно, это выражение тем точнее, чем меньше , но оно может быть достаточно точным, даже когда интервал  не исчезающе мал. Что теперь можно сказать о скорости? Чтобы определить скорость в момент , очевидно, нужно знать, как она изменяется со временем, т. е. нужно знать ускорение. А как узнать его? Вот здесь-то нам на помощь приходят уравнения динамики. Именно они позволяют определить, чему равно ускорение. В нашей задаче уравнение динамики говорит, что ускорение равно . Поэтому

,                                                     (9.14)

                                              (9.15)

Уравнение (9.14) еще кинематическое; оно просто говорит о том, что из-за наличия ускорения скорость изменяется. Однако уравнение (9.15) уже динамическое, потому что оно связывает ускорение с силой. Оно говорит, что в данной частной задаче для данного момента времени ускорение можно заменить на . Следовательно, если в какой-то момент времени нам известны положение и  скорость , то мы знаем и ускорение, которое дает возможность найти скорость в следующий момент, а скорость в свою очередь определяет новое положение и т. д. Вот каким образом действует весь этот динамический механизм! Действующая сила немного изменяет скорость, а скорость приводит к небольшому изменению положения.