§ 3. Сложение энергии
Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их:
и пусть все они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения
, то все вместе даст постоянную:
. (13.14)
Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцировании
мы получим производные скорости — силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от
.
Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть
. (13.15)
Производная по времени от потенциальной энергии есть
,
но
,
так что
,
потому что
, хотя
. Итак,
. (13.16)
Теперь внимательно посмотрим, что значит
и
. В (13.15)
означает, что
принимает по порядку все значения
, и для каждого
индекс
принимает все значения, кроме
. Если, например,
, то
принимает значении
.
С другой стороны, в (13.16)
означает, что каждая пара
и
встречается лишь однажды. Скажем, частицы
и
дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что
принимает значения
, а
для каждого
— только значении, большие чем
. Если, скажем,
, то
равно
. Но вспомним, что каждая пара
дает два слагаемых в сумме, одно с
, а другое с
, и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения
и
(кроме
) ]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергии действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинетическая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потенциальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энергии пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело
, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела
потребует работы
. И вот теперь самый существенный момент: мы доставляем тело
в точку
. В любой момент сила, действующая на
, слагается из двух частей: из силы, действующей со стороны
, и силы со стороны
. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз
разбивается на сумму сил
,
то работа равна
.
Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы
и против силы
, как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать, таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.