§ 4. Релятивистская массаИз предыдущей главы мы усвоили, что масса тела растет с увеличением его скорости. Но никаких доказательств этого, похожих на те рассуждения с часами, которыми мы обосновали замедление времени, мы не привели. Сейчас, однако, мы можем доказать, что (как следствие принципа относительности и прочих разумных соображений) масса должна изменяться именно таким образом. (Мы должны говорить о «прочих соображениях» по той причине, что нельзя ничего доказать, нельзя надеяться на осмысленные выводы, не опираясь на какие-то законы, которые предполагаются верными.) Чтобы не изучать законы преобразования силы, обратимся к столкновениям частиц. Здесь нам не понадобится закон действия силы, а хватит только предположения о сохранении энергии и импульса. Кроме того, мы предположим, что импульс движущейся частицы - это вектор, всегда направленный по ее движению. Но мы не будем считать импульс пропорциональным скорости, как это делал Ньютон. Для нас он будет просто некоторой функцией скорости. Мы будем писать вектор импульса в виде вектора скорости, умноженного на некоторый коэффициент
Индекс Пусть у нас есть две частицы (к примеру, два протона), которые между собой совершенно одинаковы и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Их общий импульс равен нулю. Что с ними случится? После столкновения их направления движения должны все равно остаться противоположными, потому что если это не так, то их суммарный вектор импульса будет отличен от нуля, т. е. не сохранится. Раз частицы одинаковы, то и скорости их должны быть одинаковы; более того, они просто должны остаться прежними, иначе энергия при столкновении изменится. Значит, схема такого упругого обратимого столкновения будет выглядеть, как на фиг. 16.2,а: все стрелки одинаковы, все скорости равны. Предположим, что такие столкновения всегда можно подготовить, что в них допустимы любые углы Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при различном выборе систем координат. Теперь начинается самое главное: взглянем на это столкновение с позиции наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой скорости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица 1 поднимается прямо вверх (горизонтальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а). Зато частица 2 движется совсем иначе, она проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но этот угол и до и после столкновения одинаков). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы 2 через Фиг. 16.3. Еще две картины того же столкновения (видимые из движущихся автомашин). Чему же равна вертикальная скорость (двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна
Перейдем к предельному случаю, когда
Проделайте теперь такое интересное упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) при произвольных
Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства при Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости. Рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты предположим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями
Итак, масса тела, образуемого при столкновении двух одинаковых тел, равна их удвоенной массе. Вы, правда, можете сказать: «Ну и что ж, это просто сохранение массы». Но не торопитесь восклицать: «Ну и что ж!», потому что сами-то массы тел были больше, чем когда тела неподвижны. Они вносят в суммарную массу Фиг. 16.4. Две картины неупругого соударения тел равной массы.
|