§ 5. Алгебра четырехвекторов

Четырехвекторы обозначаются иначе, чем тривекторы. Например, тривектор импульса обозначают . Если хотят дать более детальную запись, то говорят о трех компонентах , можно писать и короче , оговаривая, что  принимает три значения  и . Для четырех векторов мы будем применять похожее обозначение: будем писать , а  пусть заменяет собой четыре направления .

Конечно, можно пользоваться любыми обозначениями. Не улыбайтесь, что мы так много говорим об обозначениях; учитесь изобретать их: в них вся сила. Ведь и сама математика в значительной степени состоит в изобретении лучших обозначений. Идея четырехвектора - это тоже усовершенствование обозначений с таким расчетом, чтобы преобразования было легче запомнить.

Итак,  - это общий четырехвектор,  - четырехимпульс,  - энергия,  - импульс в направлении ,  - в направлении ,  - в направлении . Складывая четырехвекторы, складывают их соответствующие компоненты.

Если четырехвекторы связаны каким-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты. Например, если закон сохранения тривектора импульса соблюдается в столкновении частиц, т. е. сумма импульсов множества взаимодействующих или сталкивающихся частиц постоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов постоянна и в направлении , и в направлении , и в направлении . Сам по себе такой закон в теории относительности невозможен: он неполон; это все равно, что говорить только о двух компонентах тривектора. Неполон он потому, что при повороте осей разные компоненты смешиваются, значит, в закон сохранения должны войти все три компоненты. Таким образом, в теории относительности нужно дополнить закон сохранения импульса, включив в него сохранение временной компоненты. Абсолютно необходимо, чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой, иначе не получится релятивистской инвариантности. Четвертое уравнение - это как раз сохранение энергии; оно должно сопровождать сохранение импульса для того, чтобы четырехвекторные соотношения в геометрии пространства-времени были справедливы. Итак, закон сохранения энергии и импульса в четырехмерном обозначении таков:

,             (17.13)

или в чуть измененных обозначениях

,                                (17.14)

где  относится к сталкивающимся частицам,  - к частицам, возникающим при столкновении, а  или . Вы спросите: «А что по осям координат?» Это неважно. Закон верен для любых компонент, при любых осях.

В векторном анализе нам встретилось одно понятие - скалярное произведение двух векторов. Что соответствует ему в пространстве-времени? При обычных вращениях неизменной остается величина . В четырехмерном мире таким свойством при преобразованиях обладает величина  [уравнение (17.3)]. Как можно это записать? Можно было бы, например, пользоваться значком наподобие  , но обычно пишут

.                   (17.15)

Штрих при  напоминает, что первый, «временной» член положителен, а остальные три отрицательны. Эта величина одна и та же в любой системе координат, и можно назвать ее квадратом длины четырехвектора. Чему равен, например, квадрат длины четырехвектора импульса отдельной частицы? Ответ: , или, иначе, , потому что  это и есть . Чему равно ? Должно по условию получиться что-то, что одинаково в любой системе координат, в частности и в системе координат, которая движется вместе с частицей, так что частица в этой системе покоится. Но если частица неподвижна, значит, у нее нет импульса. Значит, у нее остается только энергия, совпадающая в этом случае с ее массой. Итак, , т. е. квадрат длины четырехвектора импульса равен .

Пользуясь выражением для квадрата вектора, легко изобрести скалярное произведение двух четырехвекторов: если один из них , а другой , то скалярное произведение определяется так:

.              (17.16)

Это выражение не меняется при преобразовании системы координат.

Следует еще упомянуть о частицах с нулевой массой покоя, например о фотоне - частице света. Фотон похож на частицу тем, что он переносит энергию и импульс. Энергия фотона равна произведению некоторой постоянной (постоянная Планка) на частоту света: . Такой фотон несет с собой и импульс, который (как у всякой частицы) равен постоянной , деленной на длину волны света: . Но у фотона связь между частотой и длиной волны вполне определенна: . (Количество волн, проходящих за 1 сек, помноженное на их длину, даст расстояние, проходимое светом в 1 сек, т. е. .) Мы сходу получаем, что энергия фотона равна его импульсу, умноженному на , и, далее, полагая , что энергия равна импульсу. Но это и значит, что масса покоя равна нулю. Давайте вдумаемся в это любопытное обстоятельство. Если фотон - частица с нулевой массой покоя, то что с ним бывает, когда он останавливается? Но он никогда не останавливается! Он всегда движется со скоростью . Обычная формула для энергии - это . Можно ли утверждать, что при  и  энергия фотона равна нулю? Нет, нельзя; на самом деле фотон может обладать (и обладает) энергией, хоть и не имеет массы покоя, за счет того, что всегда движется со скоростью света!

Мы знаем также, что импульс любой частицы равен произведению полной энергии на скорость:  при , или, в обычных единицах, . Для любой частицы, движущейся со скоростью света, , если . Формулы для энергии фотона в движущейся системе даются по-прежнему уравнением (17.12), но вместо импульса туда нужно подставить энергию, умноженную на  (на 1). Изменение энергии при преобразовании означает изменение частоты света. Это явление называется эффектом Допплера; формулу для него легко получить из уравнения (17.12), положив  и .

Как сказал Минковский: «Пространство само по себе и время само по себе погрузятся в реку забвенья, а останется жить лишь своеобразный их союз».