§ 2. Обратные операции
Кроме прямых операций сложения, умножения и возведения в степень, существуют обратные операции. Их можно определить так. Предположим, что нам заданы
и
; как найти
, удовлетворяющее уравнениям
,
,
? Если
, то
определяется при помощи вычитания:
. Столь же проста операция деления: если
, то
; это решение уравнения
«задом наперед». Если вам встретится степень:
, то надо запомнить, что
называется корнем
-й степени из
. Например, на вопрос: «Какое число, будучи возведенным в куб, дает 8?» - следует отвечать: «Кубический корень из 8, т. е. 2». Обратите внимание, что, когда дело доходит до степени, появляются две обратные операции. Действительно, ведь раз
и
- различные числа, то можно задать и такой вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» В этом случае приходится брать логарифм. Если
, то
. Не надо пугаться громоздкой записи числа
в этом случае; находить его так же просто, как и результаты других обратных операций. Хотя логарифм «проходят» гораздо позже корня, это такая же простая вещь: просто-напросто это разного сорта решения алгебраических уравнений. Выпишем вместе прямые и обратные операции:
а) сложение а') вычитание

б) умножение б') деление

в) возведение в степень в') извлечение корня

г) возведение в степень г') взятие логарифма

|
(22.2)
|
В чем же идея? Выписанные соотношения верны для целых чисел, потому что они выводятся из определений сложения, умножения и возведения в степень. Подумаем, нельзя ли расширить класс объектов, которые по-прежнему будут обозначаться буквами
и
и для которых по-прежнему будут верны все сформулированные нами правила, хотя сложение уже нельзя будет понимать как последовательное увеличение числа на единицу, а возведение в степень - как последовательное перемножение целых чисел.