§ 6. Мнимые экспоненты
Чтобы лучше понять, что такое число в мнимой степени, вычислим последовательные степени десяти. Мы не будем каждый раз удваивать степень, чтобы не повторять табл. 22.3, и посмотрим, что случится с действительной частью после того, как она станет отрицательной. Результат можно увидеть в табл. 22.4.
Таблица 22.4 Последовательные произведения числа 

|

|

|

|
0
|

|
10
|

|
1
|
2
|
11
|

|
2
|

|
12
|

|
3
|

|
14
|

|
4
|

|
16
|

|
5
|

|
18
|

|
6
|

|
20
|

|
7
|

|
22
|

|
8
|

|
24
|

|
9
|

|
|
|
В этой таблице собраны последовательные произведения числа
. Видно, что
уменьшается, проходит через нуль, достигает почти
(в промежутке между
и
величина точно равна
) и возвращается назад. Точно так же величина
ходит взад-вперед.
Точки на фиг. 22.1 соответствуют числам, приведенным в табл. 22.4, а соединяющие их линии помогают следить за изменением
и
. Видно, что числа
и
осциллируют;
повторяет себя. Легко объяснить, почему так происходит.

Фиг. 22.1. Вещественная и мнимая части функции
.
Ведь
в четвертой степени - это
в квадрате. Это число равно единице; следовательно, если
равно
, то, возведя это число в четвертую степень, т. е. вычислив
, мы получим
. Если нужно получить, например,
, то нужно умножить
на
. Иначе говоря, функция
повторяется, имеет период. Мы уже знаем, как выглядят такие кривые! Они похожи на график синуса или косинуса, и мы назовем их на время алгебраическим синусом и алгебраическим косинусом. Теперь перейдем от основания 10 к натуральному основанию. Это только изменит масштаб горизонтальной оси; мы обозначим
через
и напишем
, где
- действительное число. Известно, что
, и мы запишем это число в виде
. (22.8)
Каковы свойства алгебраического косинуса
и алгебраического синуса
? Прежде всего
; это мы уже доказали, и это верно для любого основания, будь то 10 или
. Следовательно,
. Мы знаем, что
для малых
; значит, если
- близкое к нулю число, то
близок к единице, a
близок к
. Продолжая дальше, мы придем к выводу, что все свойства этих замечательных функций, получающихся в результате возведения в мнимую степень, в точности совпадают со свойствами тригонометрического синуса и тригонометрического косинуса.
А как обстоит дело с периодом? Давайте найдем его. В какую степень надо возвести
, чтобы получить
? Иными словами, чему равен логарифм
по основанию
? Мы вычислили уже логарифм
по основанию 10; он равен
; чтобы перейти к основанию
, мы умножим это число на 2,3025 и получим 1,5709. Это число можно назвать «алгебраическим
». Но поглядите-ка, оно отличается от настоящего
всего лишь последним десятичным знаком, и это просто-напросто следствие наших приближений при вычислениях! Таким образом, чисто алгебраически возникли две новые функции - синус и косинус; они принадлежат алгебре и только алгебре. Мы пошли по их следам и обнаружили, что это те же самые функции, которые так естественно возникают в геометрии. Мы отыскали мост между алгеброй и геометрией.
Подводя итог нашим поискам, мы напишем одну из самых замечательных формул математики
. (22.9)
Вот она, наша жемчужина.
Связь между алгеброй и геометрией можно использовать для изображения комплексных чисел на плоскости; точка на плоскости определяется координатами
и
(фиг. 22.2). Представим каждое комплексное число в виде
. Если расстояние точки от начала координат обозначить через
, а угол радиуса-вектора точки с осью
- через
, то выражение
можно представить в виде
. Это следует из геометрических соотношений между
и
. Таким образом, мы объединили алгебру и геометрию.

Фиг. 22.2. Комплексное число как точка на плоскости.
Начиная эту главу, мы знали только целые числа и умели их считать. Зато у нас была небольшая идея о могуществе шага в сторону и обобщения. Используя алгебраические «законы», или свойства чисел, сведенные в уравнения (22.1), и определения обратных операций (22.2), мы смогли создать не только новые числа, но и такие полезные вещи, как таблицы логарифмов, степеней и тригонометрические функции (они возникли при возведении действительных чисел в мнимые степени), и все это удалось сделать, извлекая много раз квадратный корень из десяти!