§ 9. Связь массы и энергии
Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на
. Если (15.11) помножить на
, получается
. (15.12)
Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию. Эйнштейн осмыслил первый член справа (очень большое постоянное число
) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя».
К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что энергия тела всегда равна
? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией
. Затем мы прикладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и поставляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется возрастать, то начнет расти и масса (это все заложено в первоначальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость
. (15.13)
Кроме того,
[см. гл. 9, уравнение (9.1)]. Связав все это с определением
и подставив в (15.13), получим
. (15.14)
Мы хотим решить это уравнение относительно
. Для этого помножим обе части на
. Уравнение обратится в
. (15.15)
Теперь нам нужно избавиться от производных, т. е. проинтегрировать обе части равенства. В величине
можно узнать производную по времени от
, а в
- производную по времени от
. Значит, (15.15) совпадает с
. (15.16)
Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше чем на константу
. Это позволяет написать
. (15.17)
Определим теперь константу
явно. Так как уравнение (15.17) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять
и обозначить в этом случае массу через
. Подстановка этих чисел в (15.17) дает
.
Это значение
теперь можно подставить в уравнение (15.17). Оно принимает вид
. (15.18)
Разделим на
и перенесем члены с
в левую часть
,
откуда
. (15.19)
А это и есть формула (15.1), т. е. как раз то, что необходимо, чтобы в уравнении (15.12) было соответствие между массой и энергией.
В обычных условиях изменения в энергии приводят к очень малым изменениям в массе: почти никогда не удается из данного количества вещества извлечь много энергии; но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20000 тонн тринитротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, на 1 г легче первоначального количества расщепляющегося материала. Это потому, что выделилась энергия, которая имела массу 1 г, в согласии с формулой
. Вывод об эквивалентности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи - превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя
. При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два
-луча, каждый опять с энергией
. Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, связанной с существованием массы покоя у частицы.