§ 4. Решения волнового уравнения
Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.
Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде
. Посмотрим теперь, является ли
решением волнового уравнения. Вычисляя
, получаем производную функции
. Дифференцируя еще раз, находим
. (47.15)
Дифференцируя эту же функцию
по
, получаем значение
, умноженное на производную, или
; вторая производная по времени дает
. (47.16)
Очевидно, что
удовлетворяет волновому уравнению, если
равно
.
Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью
и, кроме того,
;
тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.
Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных
, т. е. звуковое возмущение вида
также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке
, но знак
не зависит от выбора
или
, потому что в эту производную входит только
. Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью
.
Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем
. Это значит, что вторая производная
по
равна второй производной
по
, умноженной на
. И пусть есть второе решение
, обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается
. (47.17)
Теперь мы хотим удостовериться, что
тоже представляет некую волну, т. е.
тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как
(47.18)
и вдобавок
. (47.19)
Отсюда следует, что
, так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по
.
Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси
и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси
, тоже удовлетворяет волновому уравнению
, (47.20)
где
- скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.