§ 6. Волны в пространстве трех измерений
Мы заканчиваем наше обсуждение волн несколькими общими замечаниями о волновом уравнении. Эти замечания, призванные дать нам картину того, чем нам предстоит заниматься в будущем, вовсе не претендуют на то, чтобы вы поняли их сразу; они должны скорее показать, как будут выглядеть все эти вещи, когда вы несколько больше познакомитесь с волнами. Мы уже записали уравнение для распространения звука в одном измерении:
;
здесь
- скорость того, что мы назвали волнами. Если речь идет о звуке, то это скорость звука, если о свете - то это скорость света. Мы показали, что для звуковой волны перемещения частиц должны распространяться с некоторой скоростью. Но избыточное давление, как и избыточная плотность, тоже распространяется с некоторой скоростью. Таким образом, можно ожидать, что и давление будет удовлетворять этому же уравнению. Так оно и есть на самом деле, однако докажите это самостоятельно. Указание:
пропорционально скорости изменения
с расстоянием
. Следовательно, продифференцировав волновое уравнение по
, мы немедленно обнаружим, что
удовлетворяет тому же самому уравнению. Другими словами,
удовлетворяет тому же самому уравнению. Но
пропорционально
, поэтому и
удовлетворяет тому же самому уравнению. Таким образом, и давление, и перемещение - все описывается одним и тем же уравнением.
Обычно волновое уравнение для звука записывается через давление, а не через перемещение. Это проще, потому что давление - скаляр и не имеет никакого направления. Но перемещение есть вектор, и поэтому лучше иметь дело с давлением.
Следующий вопрос, который нам предстоит обсудить, относится к волновому уравнению в трехмерном пространстве. Мы знаем, что звуковая волна в одномерном пространстве описывается решением
, где
. Кроме того, нам известно, что в трех измерениях волна описывается выражением
, и в этом случае
[сокращенная запись
]. Сейчас мы хотим просто угадать вид волнового уравнения в трехмерном пространстве. Естественно, что в случае звука это уравнение можно получить с помощью тех же самых динамических соображений, но уже в трехмерном пространстве. Однако мы не будем сейчас делать этого, а просто напишем ответ: уравнение для давления или перемещения (или чего-то другого) имеет вид
; (48.23)
правильность этого уравнения может быть легко проверена подстановкой в него функции
. Ясно, что при каждом дифференцировании по
происходит умножение на
. Если мы дифференцируем дважды, то это эквивалентно умножению на
, так что для такой волны первый член получится равным
. Точно таким же образом второй член окажется равным
, а третий - равным
. С правой же стороны мы получим
. Если мы вынесем за скобку
и изменим знаки всех членов, то увидим, что между
и
как раз получится желаемое соотношение.
Возвращаясь назад, мы должны прийти к основному уравнению, соответствующему дисперсионному соотношению (48.22) для квантовомеханической волны. Если
- амплитуда нахождения частицы в момент
в точке с координатами
и
, то основное уравнение квантовой механики для свободной частицы имеет вид
. (48.24)
Прежде всего заметим, что релятивистский характер этого уравнения гарантируется появлением координат
и времени
в такой удачной комбинации, что она автоматически учитывает принцип относительности. Кроме того, это уравнение волновое. Если подставить в него плоскую волну, то как следствие мы получим равенство
, которое должно выполняться в квантовой механике. В этом волновом уравнении содержится еще одна фундаментальная вещь: любая суперпозиция волн также будет его решением. Таким образом, это уравнение опирается на всю квантовую механику и всю теорию относительности, которая уже обсуждалась нами до сих пор, по крайней мере когда мы имели дело с единственной частицей в пустом пространстве без всяких потенциалов и воздействующих на нее сил!