§ 5. Теорема об энергии
Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для сложной волны энергия за один период пропорциональна
. Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье.
Напишем
. (50.22)
После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа
. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные
. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен
, так что получаем
. (50.23)
Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее Фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем
,
поскольку
. Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равна
. Точно так же, выписав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что
равно
.