§ 2. Закон Больцмана

Отметим здесь тот факт, что числитель показателя экспоненты в равенстве (40.1) - это потенциальная энергия атома. Поэтому можно в нашем случае сформулировать закон следующим образом: плотность в каждой точке пропорциональна

,

где п.э. - потенциальная энергия отдельного атома.

Возможно, что эта случайность и этот закон справедлив только в частном случае однородного гравитационного поля. Однако можно показать, что это весьма общее утверждение. Предположим, что на молекулы газа действуют какие-то иные, не гравитационные, силы. Например, молекулы обладают электрическим зарядом, а тогда они реагируют на электрическое поле или на другой заряд, притягивающий их. А может быть, в результате взаимного притяжения атомов друг к другу или к стенкам, или к какому-нибудь твердому телу, или еще к чему-то существуют какие-то силы притяжения, которые зависят от взаимного расположения молекул и действуют на все молекулы. Предположим теперь для простоты, что все молекулы одинаковы и что сила действует на каждую отдельную молекулу, так что полная сила, действующая на произвольно выделяемую часть газа, равна просто произведению числа молекул на силу, действующую на одну молекулу. Дело совсем упростится, если выбрать систему координат так, что сила  будет действовать вдоль оси .

Так же, как и раньше, рассечем газ двумя параллельными плоскостями, промежуток между которыми равен . Тогда сила, действующая на каждый атом, умноженная на число атомов в (обобщение прежнего ) и умноженная на , должна сбалансировать изменение давления: . Или, придав этому закону другую форму, которая пригодится позднее, запишем:

.                   (40.2)

Теперь заметим, что  - это работа, которую надо совершить для переноса молекулы из  в , и если сила  произошла из потенциала, т. е. работу можно описывать с помощью потенциальной энергии, то нужную нам величину можно считать изменением потенциальной энергии (п. э.). Отрицательное изменение потенциальной энергии - это произведенная работа , так что , или после интегрирования

.                (40.3)

Таким образом, то, что нам удалось заметить в частном случае, справедливо вообще. (А что если  не происходит из потенциала? Тогда (40.2) просто-напросто не имеет решения. В этом случае, после того как какой-нибудь атом опишет замкнутый путь, вдоль которого полная работа не равна нулю, энергия либо прибавится, либо убавится и равновесие никогда не установится. Температурное равновесие невозможно, если внешние силы, действующие на газ, не консервативны.) Уравнение (40.3) известно под названием закона Больцмана. Это еще один из принципов статистической механики: вероятность найти молекулу в заданной точке заданной пространственной конфигурации изменяется экспоненциально, причем показатель экспоненты состоит из потенциальной энергии в заданной пространственной конфигурации, взятой с обратным знаком и деленной на .

Таким образом, мы знаем кое-что о распределении молекул. Предположим, что в нашем распоряжении имеется плавающий в жидкости положительный ион; он притягивает окружающие его отрицательные ионы. Много ли их окажется на разных расстояниях от положительного иона? Если нам известно, как зависит от расстояния потенциальная энергия, то отношение чисел ионов на разных расстояниях определяется полученным нами законом. Этому закону можно найти еще много других применений.