Глава 15. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполяВ предыдущей главе мы изучали магнитное поле, создаваемое маленькой прямоугольной петлей, по которой течет ток. Мы нашли, что это поле диполя с дипольным моментом, равным
где
где Петли с током, или магнитные диполи, не только создают магнитные поля, но и сами подвергаются действию силы, попав в магнитное поле других токов. Рассмотрим сперва силы, действующие на прямоугольную петлю в однородном магнитном поле. Пусть ось Фиг. 15.1. Прямоугольная петля с током Действующий на нее вращательный момент равен Раз токи на противоположных сторонах петли текут в противоположные стороны, то и силы, действующие на них, тоже направлены врозь, а суммарная сила равна нулю (в однородном поле). Но благодаря силам, действующим на стороны, обозначенные на фиг. 15.1 цифрами 1 и 2, возникает вращательный момент, стремящийся вращать петлю вокруг оси
Их плечо равно
так что вращательный момент
или, поскольку
Вращательный момент может быть записан и векторно:
То, что вращательный момент дается уравнением (15.2), мы показали пока только для довольно частного случая. Но результат, как мы увидим, верен для маленьких петель любой формы. Полезно напомнить, что и для вращательного момента, действующего на электрический диполь, мы получили соотношение подобного же рода:
Сейчас нас интересует механическая энергия нашей петли, по которой течет ток. Раз есть момент вращения, то энергия, естественно, зависит от ориентации петли. Принцип виртуальной же работы утверждает, что момент вращения - это скорость изменения энергии с углом, так что можно написать
Подставляя
(Знак минус стоит потому, что петля стремится развернуть свой момент по полю; энергия ниже всего тогда, когда По причинам, о которых мы поговорим позже, эта энергия не есть полная энергия петли с током. (Мы, к примеру, не учли энергии, идущей на поддержание тока в петле.) Поэтому мы будем называть ее
Опять получилось соответствие с электрическим диполем, где было
Только в (15.5) электрическая энергия - и вправду энергия, a Для нашей прямоугольной петли можно показать, что Вообразите, что мы хотим двигать петлю в направлении Фиг. 15.2. Петлю проносят через поле Рассчитаем сначала работу переноса каждой стороны по отдельности, а затем все сложим (вместо того, чтобы складывать силы до интегрирования). Силы, действующие на стороны 3 и 4, направлены поперек движения, так что на эти стороны работа не тратится. Сила, действующая на сторону 2, направлена по
Подобно этому, и работа против сил, действующих на сторону 1, равна
Чтобы вычислить каждый интеграл, надо знать, как
Но, попав в область, где
где
Это согласуется с выражением для энергии (15.4), выбранным нами прежде. Конечно, тот же вывод получился бы, если бы мы до интегрирования сложили все силы, действующие на петлю. Если бы мы обозначили через
Если петля «узкая», т. е. если
Так что сила была бы равна
Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, равнялась бы
а это опять
Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исключено, что не все виды энергии вошли в формулу
|