§ 2. Сферические волны от точечного источника
В гл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой
(21.2)
и
, (21.3)
где
и
обязаны удовлетворять уравнениям
(21.4)
и
(21.5)
и, кроме того, условию
. (21.6)
Найдем теперь решение уравнений (21.4) и (21.5). Для этого надо уметь решать уравнение
, (21.7)
где величина
(которая называется источником) известна. Ясно, что для уравнения (21.4)
соответствует
, a
- это
, а для уравнения (21.5)
соответствует
, если
- это
, и т. д. Но нас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физический смысл
и
.
Там, где
и
равны нулю (это место называется «пустотой»), там потенциалы
и
и поля
и
удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источников; математическая форма этого уравнения такова:
. (21.8)
В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут представлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие в
-направлении
; плоские волны, бегущие вдоль
или вдоль
или в любом другом направлении; сферические волны вида
. (21.9)
(Решения можно записать иначе - например в виде цилиндрических волн, разбегающихся от оси.)
Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) относится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения (21.8) всюду, кроме непосредственной окрестности точки
, где (21.9) представляет собой решение полного уравнения (21.7), в правой части которого стоят источники. Давайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источник
в уравнении (21.7) должен вызвать волну тина (21.9).
Предположим, что имеется сферическая волна (21.9) и поглядим, во что она превращается при очень малых
. Тогда запаздыванием
в
можно пренебречь, и поскольку функция
плавная,
превращается в
. (21.10)
Итак,
в точности похоже на кулоново поле заряда, расположенного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ начала координат и имеющего плотность
,
,
где
. Такой потенциал
удовлетворяет уравнению
.
Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что
из выражения (21.10) удовлетворяет уравнению
, (21.11)
где
связано с
формулой

при
.
Единственная разница в том, что в общем случае
, а, стало быть, и
может оказаться функцией времени.
Далее очень важно то, что если
удовлетворяет (21.11) при малых
, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость
от
типа
приводит к тому, что пространственные производные становятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные
по времени.] Так что, когда
стремится к нулю, множителем
в уравнении (21.7) по сравнению с
можно пренебречь, и (21.7) становится эквивалентным уравнению (21.11).
Подытоживая, можно сказать, что если функция источника
из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна
, (21.12)
то решение уравнения (21.7) имеет вид
. (21.13)
Влияние слагаемого с
в (21.7) сказывается лишь на появлении запаздывания
в потенциале кулонова типа.