§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
Теперь выпишем законы преобразования, выражающие
и
в движущейся системе через
и
в неподвижной, хотя неявно мы уже говорили о них. Поскольку
является четырехвектором, это уравнение должно выглядеть подобно (25.1), за исключением того, что
нужно заменить на
, а
- на
. Таким образом,
(25.24)
При этом предполагается, что штрихованная система координат движется по отношению к нештрихованной со скоростью
в направлении оси
.
Рассмотрим один пример плодотворности идеи 4-потенциала. Чему равны векторный и скалярный потенциалы заряда
, движущегося со скоростью
в направлении оси
? Задача очень упрощается в системе координат, движущейся вместе с зарядом, ибо в этой системе заряд покоится. Пусть заряд находится в начале координат системы
, как это показано на фиг. 25.2.

Фиг. 25.2. Система отсчета
движется со скоростью
(в направлении оси
) по отношению к системе
.
Заряд, покоящийся вначале системы координат
, находится в системе
в точке
. Потенциалы в точке
могут быть найдены для любой системы отсчета.
Скалярный потенциал в движущейся системе задается выражением
, (25.25)
причем
- расстояние от заряда
до точки в движущейся системе, где производится измерение поля. Векторный же потенциал
, разумеется, равен нулю.
Теперь без особых хитростей можно найти потенциалы
и
в неподвижной системе координат. Соотношениями, обратными к уравнениям (25.24), будут
(25.26)
Используя далее выражение для
[см. (25.25)] и равенство
, получаем
.
Эта формула дает нам скалярный потенциал
, который мы увидели бы в системе
, но он, к сожалению, записан через координаты штрихованной системы. Впрочем, это дело легко поправимо; с помощью (25.1) можно выразить
,
,
,
через
,
,
,
и получить
. (25.27)
Повторяя ту же процедуру для вектора
, вы можете показать, что
. (25.28)
Это те же самые формулы, которые мы вывели в гл. 21, но там они были получены другим методом.