§ 5. Симметрии в двух измеренияхТеперь мне хотелось бы обсудить некоторые свойства кристаллов с точки зрения их внутренних симметрий. Основное свойство кристалла состоит в том, что если вы сдвинетесь от одного атома на один период решетки к соответствующему атому, то попадете в точно такое же окружение. Это фундаментальное утверждение. Но если бы вы сами были атомом, то могли бы заметить другое передвижение, которое привело бы вас в точно такое же окружение, т. е. в другую возможную «симметрию». На фиг. 30.7,а показан еще один возможный узор обоев (хотя вы, наверно, такого никогда не видали). Предположим, что мы сравниваем окружения в точках Фиг. 30.7. Узор обоев с высокой симметрией. В этом узоре имеются еще и другие виды «эквивалентных» точек. Так, точки Теперь, когда мы описали ряд частных случаев, попытаемся вывести все возможные типы симметрии, какие может иметь кристалл. Прежде всего посмотрим, что получается в плоскости. Плоская решетка может быть определена с помощью двух так называемых основных векторов, которые идут от одной точки решетки к двум ближайшим эквивалентным точкам. Два вектора 1 и 2 суть основные векторы решетки на фиг. 30.1. Два вектора Итак, мы видим, что существуют решетки, обладающие «четырехсторонней» симметрией. А раньше мы описали плотную упаковку, основанную на шестиугольнике и обладающую шестисторонней симметрией. Вращение набора кружков на фиг. 30.5,а на угол 60° вокруг центра любого шарика переводит рисунок сам в себя. Какие виды вращательной симметрии существуют еще? Может ли быть, например, вращательная симметрия пятого или восьмого порядка? Легко понять, что они невозможны. Единственная симметрия, связанная с фигурой, имеющей более четырех сторон, есть симметрия шестого порядка. Прежде всего покажем, что симметрия более чем шестого порядка невозможна. Попытаемся вообразить решетку с двумя равными основными векторами, образующими угол менее 60° (фиг. 30.8,а). Мы должны предположить, что точки Фиг. 30.8. Симметрия вращения выше шестого порядка невозможна (а); симметрия вращения пятого порядка невозможна (б). А как быть с пятикратной симметрией? Если мы предположим, что основные векторы Вернемся к фиг. 30.7,а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7,б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7,а. Маленькие фигурки, похожие на запятые, - это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каждого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка больше одного квадратика. Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но элементарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фиг. 30.7; мы обнаружим, что они обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражение относительно каждой пунктирной линии Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция симметрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вращению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда любая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат Фиг. 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией. а - рисунок меняется; б - рисунок не меняется при преобразовании Инверсия рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а инверсия рисунка б приводит к такому же рисунку. На двумерном узоре (вы можете это видеть) инверсия рисунка б в точке Если мы будем характеризовать «симметрию» рисунка (или решетки) разного рода операциями симметрии, которые мы только что описали, то окажется, что в двумерном случае существуют 17 различных форм узоров. Узор с наинизшей возможной симметрией мы изобразили на фиг. 30.1, а узор с одной из наивысших симметрий - на фиг. 30.7. Отыщите сами все 17 возможных форм рисунков. Удивительно, как мало типов из этих 17 используется при изготовлении обоев и тканей! Всегда видишь одни и те же три или четыре основных типа. В чем здесь дело? Неужели так убога фантазия художников или, может быть, многие из возможных типов рисунков не будут радовать глаз?
|