§ 4. Изгибание балкиРазберем теперь другой практический вопрос - изгибание балки, стержня или бруска. Чему равны силы, необходимые для изгибания балки произвольного поперечного сечения? Мы определим эти силы для балки круглого сечения, но ответ будет пригоден для балки любой формы. Чтобы сберечь время, мы кое-где упростим дело, так что теория, которую мы разовьем, будет только приближенной. Наши результаты верны лишь при том условии, что радиус изгибания много больше толщины балки. Представьте, что вы ухватились за оба конца прямой балки и согнули ее в виде кривой, похожей на ту, что изображена на фиг. 38.11. Что же происходит внутри балки? Раз она искривлена, значит, материал на внутренней стороне сгиба сжат, а на внешней стороне растянут. Но имеется какая-то поверхность, более или менее параллельная оси балки, которая и не сжата, и не растянута. Называется она нейтральной поверхностью. По-видимому, эта поверхность проходит где-то «посредине» поперечного сечения. Можно показать (но я не буду этого здесь делать), что для небольшого изгиба простой балки нейтральная поверхность проходит через «центр тяжести» поперечного сечения. Но это справедливо только для «чистого» сгиба, т. е. когда балка не растягивается и не сжимается как целое. Фиг. 38.11. Изогнутая балка. При чистом сгибе тонкий поперечный отрезок балки возмущен (фиг. 38.12,а). Материал под нейтральной поверхностью испытывает деформацию сжатия, которая пропорциональна расстоянию от нейтральной поверхности, а материал над ней растянут тоже пропорционально расстоянию от нейтральной поверхности. Таким образом, продольное удлинение
Так что напряжение, т. е. сила, действующая на единичную площадь в некоторой маленькой полоске вблизи
Фиг. 38.12. Маленький отрезок изогнутой балки (а) и поперечное сечение балки (б). Теперь рассмотрим те силы, которые привели бы к подобной деформации. Силы, действующие на маленький отрезок, изображенный на фиг. 38.12, показаны на том же рисунке. Если мы возьмем любое поперечное сечение, то действующие на нем силы направлены в одну сторону выше нейтральной поверхности и в другую - ниже ее. Получается пара сил, которая создает «изгибающий момент»
Согласно (38.34),
Но интеграл от
Уравнение (38.36) дает нам соотношение между изгибающим моментом Фиг. 38.13. Двутавровая балка. В качестве примера применения нашего уравнения (38.36) для балки вычислим отклонение консольной балки под действием сосредоточенной силы
Нас интересуют только малые изгибы (обычная вещь в инженерных конструкциях), поэтому квадратом производной
Нам нужно еще знать изгибающий момент
ибо это и есть момент сил относительно точки
или
Это уравнение можно проинтегрировать без всяких фокусов и получить
воспользовавшись предварительно нашим предположением, что
т. е. отклонение возрастает пропорционально кубу длины балки. Фиг. 38.14. Консольная балка с нагрузкой на конце. При выводе нашей приближенной теории мы предполагали, что при изгибании поперечное сечение бруска не изменяется. Когда толщина бруска мала по сравнению с радиусом кривизны, поперечное сечение изменяется очень мало и все отлично. Однако в общем случае этим эффектом пренебречь нельзя - согните пальцами канцелярскую резинку и вы сами убедитесь в этом. Если первоначально поперечное сечение было прямоугольным, то, согнув резинку, вы увидите, как она выпирает у основания (фиг. 38.15). Это получается потому, что, согласно отношению Пуассона, при сжатии основания материал «раздается» вбок. Резинку очень легко согнуть или растянуть, но она несколько напоминает жидкость в том отношении, что изменить ее объем очень трудно. Это и сказывается при сгибании резинки. Для несжимаемых материалов отношение Пуассона было бы точно равно 1/2, для резинки же оно близко к этому числу. Фиг. 38.15. Согнутая резинка (a) и ее поперечное сечение (б).
|