§ 5. Вычисление упругих постоянныхПоследний вопрос в теории упругости, который я разберу, - это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней. Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б). Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно. Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10,б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором
Назовем атом с координатами Таблица 39.1 КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Фиг. 39.11. Перемещение ближайших и следующих поблизости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.) Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению
Заметьте, что с точностью до первого порядка
Воспользовавшись величинами
Для полной энергии всех пружинок в плоскости
Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только
Упругие постоянные связаны с плотностью энергии
Чтобы найти упругие постоянные
поэтому
В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения
Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что
Таким же способом можно получить
Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок
Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что Таблица 39.2 УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ. В
|