§ 3. Число Рейнольдса
Посмотрим теперь, - как изменяется течение жидкости из-за нового члена с вязкостью. Рассмотрим несколько подробнее две задачи. Первая - обтекание жидкостью цилиндра; эту задачу мы пытались решить в предыдущей главе, используя теорию невязкой жидкости. Оказывается, что сегодня возможно найти решение вязких уравнений только для некоторых специальных случаев. Так что кое-что из того, что я расскажу вам, основано на экспериментальных измерениях, считая, конечно, что экспериментальная модель удовлетворяла уравнению (41.17).
Математически задача состоит в следующем: мы хотим найти решение для потока несжимаемой вязкой жидкости вблизи длинного цилиндра диаметром
. Поток должен определяться уравнением (41.17) и
(41.18)
с условием, что скорость на больших расстояниях равна некоторой постоянной
(параллельной оси
), а на поверхности цилиндра равна нулю. Так что
(41.19)
при
.
Это полностью определяет математическую задачу.
Если вы вглядитесь в эти выражения, то увидите, что в задаче есть четыре различных параметра:
,
,
и
. Можно подумать, что нам придется иметь дело с целой серией решений для разных
, разных
и т. д. Вовсе нет. Все возможные различные решения соответствуют разным значениям одного параметра. Такова наиболее важная общая вещь, которую мы можем сказать о вязком потоке. А чтобы понять, почему это так, заметьте сначала, что вязкость и плотность появляются в виде отношения
, т. е. удельной вязкости. Это уменьшает число независимых параметров до трех. Предположим теперь, что все расстояния мы измеряем в единицах той единственной длины, которая появляется в задаче: диаметра цилиндра
, т. е. вместо
,
,
мы вводим новые переменные
,
,
, причем
.
При этом параметр
из (41.19) исчезает. Точно так же если будем измерять все скорости в единицах
, т. е. если мы положим
, то избавимся от
, a
на больших расстояниях будет просто равно единице. Поскольку мы фиксировали наши единицы длины и скорости, то единицей времени теперь должно быть
, так что мы должны сделать подстановку:
. (41.20)
В наших новых переменных производные в уравнении (41.18) тоже изменятся: так,
перейдет в
и т. д., так что уравнение (41.18) превратится в
. (41.21)
А наше основное уравнение (41.17) перейдет в
.
Все постоянные при этом собираются в один множитель, который мы, следуя традиции, обозначим через
:
. (41.22)
Если теперь мы просто запомним, что все наши уравнения должны выписываться для величин, измеряемых в новых единицах, то все штрихи можно опустить. Тогда уравнения для потока примут вид
(41.23)
и
,
с условиями

для
(41.24)
и

для
.
Что все это значит? Если, например, мы решили задачу для потока с одной скоростью
и некоторого цилиндра диаметром
, а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого диаметра
другой жидкостью, то поток будет одним и тем же при такой скорости
, которая отвечает тому же самому числу Рейнольдса, т. е. когда
. (41.25)
В любых случаях, когда числа Рейнольдса одинаковы, поток при выборе надлежащего масштаба
,
,
и
будет «выглядеть» одинаково. Это очень важное утверждение, ибо оно означает, что мы можем определить поведение потока воздуха при обтекании крыла самолета, не строя самого самолета и не испытывая его. Вместо этого мы можем сделать модель и провести измерения, используя скорость, которая дает то же самое число Рейнольдса. Именно этот принцип позволяет нам применять результаты измерений над маленькой моделью самолета в аэродинамической трубе или результаты, полученные с моделью корабля, к настоящим объектам. Напомню, однако, что это можно делать только при условии, что сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В противном случае войдет новая величина - скорость звука. При этом различные модели будут действительно соответствовать друг другу только тогда, когда отношение
к скорости звука тоже приблизительно одинаково. Отношение скорости
к скорости звука называется числом Маха. Таким образом, для скоростей, близких к скорости звука или больших, поток в двух задачах будет выглядеть одинаково, если и число Маха и число Рейнольдса в обеих ситуациях одинаковы.