Глава 3. Спин единица

§ 1. Фильтровка атомов при помощи прибора Штерна — Герлаха.

В этой главе мы начнем изучать квантовую механику по-настоящему — в том смысле, что мы собираемся теперь описывать квантовомеханическое явление полностью с квантовомеханическон точки зрения. Мы не будем искать объяснений в классической механике или пытаться установить с ней связь. Мы хотим говорить на новом языке о чем-то новом. Частный случай, с которого мы начнем, это поведение квантованного момента количества движения для частицы со спином . Но мы не хотим употреблять такие слова, как «момент количества движения» или другие понятия классической механики, мы несколько отложим их обсуждение. Мы избрали этот частный случай лишь потому, что он достаточно прост, хотя и не самый простой из всех. Он достаточно сложен для того, чтобы служить образцом, который можно будет обобщить для описания всех квантовомеханических явлений. Стало быть, хотя мы будем иметь дело лишь с частным примером, все законы, которые мы упомянем, могут быть немедленно обобщены; мы так и сделаем, чтобы вам стали ясны общие черты квантовомеханического описания.

Начнем с явления расщепления пучка атомов на три отдельных пучка в опыте Штерна — Герлаха. Вы помните, что если имеется неоднородное магнитное поле, созданное магнитом с острым полюсным наконечником, и если через прибор пропустить пучок частиц, то этот пучок может расщепиться на несколько пучков; их количество зависит от сорта атома и его состояния. Мы разберем случай, когда атом расщепляется на три пучка; такую частицу мы будем называть частицей со спином . Вы сможете потом сами разобрать случаи пяти лучков, семя пучков, двух и т. д. Вам придется попросту все скопировать, но там, где у нас были три члена, у вас окажется пять, семь, два и т. д.

Представьте себе прибор, схематически начерченный на фиг. 3.1. Пучок атомов (или любых частиц) коллимирован (ограничен) какими-то прорезями п проходит сквозь неоднородное поле. Пусть пучок движется но оси , а магнитное поле и его градиент направлены по оси . Тогда, глядя со стороны, мы увидим, как пучок расщепляется по вертикали на три пучка. На выходном конце магнита можно поставить небольшие счетчики, подсчитывающие скорость появления частиц в том или ином из трех пучков. Или можно перекрыть два пучка и пропускать только третий.

Фигура 3.1. В опыте Штерна-Герлаха атомы со спином 1 расщепляются на три пучка.

Предположим, что мы перекрыли два нижних пучка, а самый верхний пропустили, введя его во второй прибор Штерна — Герлаха такого же типа (фиг. 3.2). Что произойдет? Во втором приборе уже не будет, трех пучков; там останется только верхний пучок (мы предполагаем, что угол отклонения очень мал). Если считать второй прибор простым продолжением первого, то те атомы, которые в первый раз отклонялись вверх, продолжают отклоняться вверх и вторым магнитом.

Фигура 3.2. Атомы одного из пучков посланы в другой такой же прибор.

Вы видите, что первый прибор создал пучок «очищенных» объектов — атомов, которые отклонились вверх в некотором неоднородном поле. Те атомы, которые входят в первоначальный прибор Штерна — Герлаха, суть атомы трех «разновидностей», и эти три сорта выбирают разные траектории. Отфильтровывая одну-сдинствеинуто разновидность, можно создать такой пучок, будущее поведение которого в приборе того же типа вполне определено и предсказуемо. Такой пучок мы назовем отфильтрованным, или поляризованным: в этом пучке все атомы находятся в определенном состоянии.

В дальнейшем будет удобнее рассматривать слегка видоизмененный прибор Штерна — Герлаха. На первый взгляд он выглядит сложнее, но на самом деле упрощает все рассуждения. Впрочем, раз мы будем делать только «мысленные эксперименты», усложнение оборудования не будет стоить нам ни гроша. (Заметим, кстати, что никто никогда всех этих экспериментов точно таким образом не ставил, а мы тем не менее знаем, что в них произойдет. Мы это знаем из законов квантовой механики, которые, конечно, основаны на других сходных экспериментах. Эти другие эксперименты вначале труднее понять, и мы предпочитаем описывать какие-то идеализированные, но мыслимые эксперименты.)

На фиг. 3.3, а изображен чертеж «усовершенствованного прибора Штерна — Герлаха, которым мы и будем пользоваться. Он состоит из последовательности трех магнитов с сильным градиентом поля. Первый (левый) — это обычный магнит Штерна — Герлаха. Он разделяет падающий пучок частиц со спином  на три отдельных пучка. Второй магнит имеет то же сечение, что и первый, но он вдвое длиннее и полярность его магнитного поля противоположна полю в первом магните. Второй магнит отталкивает атомные магнитики в обратную сторону и искривляет их пути снова к оси, как показано на траекториях, начерченных на фиг. 3.3, б. Третий магнит в точности похож на первый; он сводит три пучка снова в одно место и выпускает их через выходное отверстие вдоль оси. Наконец, надо представить себе, что перед отверстием в  имеется какой-то механизм, который разгоняет атомы из состояния покоя, а после выходного отверстия в  имеется замедляющий механизм, который опять приводит атомы в  в состояние покоя. Это несущественно, но это все же будет означать, что в нашем анализе нам не придется заботиться об учете каких-либо эффектов движения, когда атомы выходят, и можно будет сосредоточиться на тех вопросах, которые связаны только со спином.

Фигура 3.3. Воображаемое видоизменение прибора Штерна-Герлаха (а) и пути атомов со спином 1 (б).

Все назначение «усовершенствованного» прибора в том и состоит, чтобы свести все частицы в одно и то же место, где они имели бы нулевую скорость.

Если мы хотим теперь провести опыт наподобие показанного на фиг. 3.2, то для начала нужно будет получить отфильтрованный пучок, вставив внутрь прибора пластинку, которая загородит два пучка (фиг. 3.4). Если теперь пропустить полученные поляризованные атомы через второй такой же прибор, то все атомы изберут верхний путь; в этом можно убедиться, поставив такие же пластинки на пути различных пучков во втором фильтре и наблюдая, пройдут ли частицы насквозь.

Фигура 3.4. «Усовершенствованный» прибор Штерна-Герлаха в качестве фильтра.

Обозначим первый прибор буквой . (Мы собираемся рассматривать всевозможные сочетания приборов, и, чтобы не путаться, мы дадим каждому свое имя.) Об атомах, которые избрали в  верхний путь, мы скажем, что они находятся в «плюс-состоянии по отношению к »; о тех, которые пошли по среднему пути, — что они «в нуль-состоянии по отношению к », и о тех, которые выбрали нижний путь, — что они в «минус-состоянии по отношению к ». (На более привычном языке мы бы сказали, что компонента момента количества движения равна ,  и , но сейчас мы отказались от этого языка.) На фиг. 3.4 второй прибор ориентирован точно так же, как первый, так что отфильтрованные атомы все пойдут по верхнему пути. А если бы в первом приборе загородить верхний и нижний пучки и пропустить только находящиеся в нуль-состоянии, то все отфильтрованные атомы прошли бы через среднюю часть второго прибора. И наконец, если бы загородить в первом приборе все пучки, кроме нижнего, то во втором был бы только нижний пучок. Можно сказать, что в любом случае первый прибор создает отфильтрованный пучок в чистом состоянии по oiношению к  (+,  или ), и мы всегда можем испытать, какое именно состояние он создает, пропустив атомы через второй такой же прибор.

Можно и второй прибор устроить так, чтобы он пропускал атомы только в одном определенном состоянии. Для этого нужно поставить внутри него перегородки так, как мы это делали в первом приборе, и тогда можно будет проверять состояние падающего пучка, просто глядя, вышло ли что-нибудь из дальнего конца. Например, если загородить два нижних пути во втором приборе, то все атомы выйдут наружу; если же загородить верхний, то не пройдет ничего.

Чтобы облегчить подобные рассуждения, мы сейчас придумаем сокращенное изображение наших усовершенствованных приборов Штерна — Герлаха. Вместо каждого такого прибора мы будем ставить символ

                                                    (3.1)

(Этот символ вы не встретите в квантовой механике; мы попросту выдумали его для этой главы. Он означает просто сокращенное изображение прибора, показанного на фиг. 3.3.) Поскольку мы собираемся пользоваться несколькими приборами одновременно, имеющими к тому же разную ориентацию, то каждый из них мы будем отмечать буквой внизу. Так, символ (3.1) обозначает прибор . Загораживая внутри один или больше пучков, мы будем отмечать это вертикальными чертами, показывающими, какой из пучков перекрыт, наподобие

                                                   (3.2)

Различные мыслимые комбинации собраны на фиг. 3.5.

Фигура 3.5. Специальные сокращенные обозначения для фильтров типа Штерна — Герлаха.

Если два фильтра стоят друг за другом (как на фиг. 3.4), мы и символы будем ставить друг за другом:

                             (3.3)

При таком расположении все, что прошло через первый фильтр, пройдет и через второй. В самом деле, даже если мы перекроем каналы «нуль» и «минус» второго прибора, так что будет

,                            (3.4)

все равно прохождение через второй прибор будет 100%-ным. Но если имеется

,                             (3.5)

то из дальнего конца не выйдет ничего. Равным образом ничего не выйдет и при

                         (3.6)

С другой стороны,

                                       (3.7)

было бы проста эквивалентно одному только

Теперь мы хотим описать эти опыты квантовомеханически. Мы скажем, что атом находится в состоянии , если он прошел через прибор, изображенный на фиг. 3.5, б, что он находится в состоянии , если прошел сквозь прибор на фиг. 3.5, в, и что он находится в состоянии , если прошел сквозь прибор на фиг. 3.5, г. Затем пусть  будет амплитуда того, что атом, который находится в состоянии , пройдя через прибор, окажется в состоянии . Можно сказать  есть амплитуда для атома в состоянии  перейти в состояние . Опыт (3.4) означает, что

,

а (3.5) — что

Точно так же и результат (3.6) означает, что

,

а (3.7) — что

<-S|—S>-=1.

Пока мы имеем дело только с «чистыми» состояниями, т. е. пока бывает открыт только один канал, таких амплитуд — всего девять. Их можно перечислить в следующей таблице:

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

(3.8)

Эта совокупность девяти чисел, именуемая матрицей, подытоживает описанные нами явления.