Глава 15. СИММЕТРИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ§ 1. СимметрияВ классической физике немало величин (таких, как импульс, энергия и момент количества движения) сохраняется. Теоремы о сохранении соответствующих величин существуют и в квантовой механике. Самое прекрасное в квантовой механике это то, что теоремы сохранения в определенном смысле удается в ней вывести из чего-то другого; в классической же механике они сами практически являются исходными для других законов. (Можно, правда, и в классической механике поступать так же, как в квантовой, но это удается только на очень высоком уровне.) В квантовой механике, однако, законы сохранения очень тесно связаны с принципом суперпозиции амплитуд и с симметрией физических систем относительно различных изменений. Это и есть тема настоящей лекции. Хотя идеи эти мы будем применять главным образом к сохранению момента количества движения, но существенно здесь то, что все теоремы о сохранении каких угодно величин всегда связаны - в квантовой механике - с симметриями системы. Начнем поэтому с изучения вопроса о симметриях систем. Очень простым примером служат молекулярные ионы водорода (впрочем, в равной степени подошли бы и молекулы аммиака), у которых имеется по два состояния. У молекулярного иона водорода за одно базисное состояние мы принимали такое состояние, когда электрон расположен возле протона №1, а за другое базисное состояние то, в котором электрон располагался возле протона №2. Эти два состояния (мы их называли
Значит, наше Фиг. 15.1. Если состояния Далее, у
суть матричные элементы, которые получаются, если
Таким же путем можно получить и
Мы снова убеждаемся, что слова оператор и матрица в квантовой механике практически взаимозаменяемы. Есть, конечно, легкие технические различия, как между словами «числительное» и «число», но мы не такие педанты, чтобы забивать себе этим голову. Так что будем именовать Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе симметрична. Этого могло бы и не быть - это зависит, например, от того, что находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при
Теперь спросим: что же произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии
Те же идеи схематично изображены на фиг. 15.2. Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии. Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична. Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния
[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию
[Как в (45.5).] Но вместо
Теперь, если
Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] - это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если только А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном состоянии
Это-то мы и хотели получить - математическую формулировку симметрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы Кстати, поскольку для бесконечно малого времени
Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора
|